Question

16．如圖1，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE=90°）的底邊DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH：AC=2：3．
（1）延長(zhǎng)HF交AB于G，求△AHG的面積．
（2）操作：固定△ABC，將直角梯形DEFH以每秒1個(gè)單位的速度沿CB方向向右移動(dòng)，直到點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，運(yùn)動(dòng)后的直角梯形為DEFH′（如圖2）．
探究1：在運(yùn)動(dòng)中，四邊形CDH′H能否為正方形？若能，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
探究2：在運(yùn)動(dòng)過程中，延長(zhǎng)HF交AB于G，三角形GEB能否為等腰三角形？若能，求出此時(shí)的t值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由于三角形AHG和ACB相似，可通過相似比求出HG的值，然后根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式即可求出三角形AHG的面積．
（2）①首先四邊形CDH′H是個(gè)矩形，如果使四邊形CDH′H成為正方形，那么需滿足的條件是CD=DH′，可先根據(jù)AH：AC的值，求出HC的長(zhǎng)即H′D的長(zhǎng)，然后除以梯形的速度即可求出t的值．
②分三種情形，分別求解即可，注意t的取值范圍；

解答 解：（1）∵AH：AC=2：3，AC=6
∴AH=$\frac{2}{3}$AC=$\frac{2}{3}$×6=4
又∵HF∥DE，
∴HG∥CB，
∴△AHG∽△ACB
∴$\frac{AH}{AC}$=$\frac{HG}{BC}$，
即 $\frac{4}{6}$=$\frac{HG}{8}$，
∴HG=$\frac{16}{3}$，
∴S_△AHG=$\frac{1}{2}$AH•HG=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{16}{3}$=$\frac{32}{3}$．

（2）①能為正方形
∵HH′∥CD，HC∥H′D，
∴四邊形CDH′H為平行四邊形，
又∠C=90°，
∴四邊形CDH′H為矩形，
又CH=AC-AH=6-4=2
∴當(dāng)CD=CH=2時(shí)，四邊形CDH′H為正方形
此時(shí)可得t=2秒時(shí)，四邊形CDH′H為正方形．
②如圖，當(dāng)BE₁=BG時(shí)，∵BG=$\frac{10}{3}$，
∴此時(shí)t=（8-4-$\frac{10}{3}$）÷1=$\frac{2}{3}$s．
當(dāng)E₂G=E₂B時(shí)，作E₂M⊥AB于M．則BM=MG=$\frac{5}{3}$，
由△BME₂∽△BCA，可得$\frac{BM}{BC}$=$\frac{B{E}_{2}}{AB}$，
∴BE₂=$\frac{25}{12}$，
此時(shí)t=（8-4-$\frac{25}{12}$）÷1=$\frac{23}{12}$s．
當(dāng)BG=BE₃時(shí)，t=（8+$\frac{10}{3}$）÷1=$\frac{34}{3}$s．
∵t≤8，
∴此種情形不存在．

綜上所述，滿足條件的時(shí)間t的值為$\frac{2}{3}$S或$\frac{23}{12}$s．

點(diǎn)評(píng) 本題著重考查了圖形平移變換、三角形相似的判定和性質(zhì)、多邊形的面積計(jì)算、分段函數(shù)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)分類討論，不要漏解，屬于中考?jí)狠S題．