Question

13．如圖，將邊長(zhǎng)為$2+\sqrt{2}$的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°至AB′C′D′，若CD和B′C′相交于點(diǎn)E，則CE=2．

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的性質(zhì)得AC=$\sqrt{2}$（2+$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$+2，∠ACD=∠BAC=45°，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BAB′=45°，AB′=AB=2+$\sqrt{2}$，∠AB′C′=∠B=90°，于是可判斷點(diǎn)B′在AC上，所以CB′=AC-AB′=$\sqrt{2}$，然后利用△ECB′為等腰直角三角形易得CE=$\sqrt{2}$CB′=2．

解答 解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AC=$\sqrt{2}$（2+$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$+2，∠ACD=∠BAC=45°，
∵正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°至正方形AB′C′D′，
∴∠BAB′=45°，AB′=AB=2+$\sqrt{2}$，∠AB′C′=∠B=90°，
∴點(diǎn)B′在AC上，
∴CB′=AC-AB′=2$\sqrt{2}$+2-2-$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
∵∠ECB′=45°，
∴△ECB′為等腰直角三角形，
∴CE=$\sqrt{2}$CB′=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2．
故答案為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質(zhì)．