Question

18．如圖數(shù)表是由從1開始的連續(xù)自然數(shù)組成，觀察規(guī)律并完成各題的解答．

（1）表中第9行的最后一個(gè)數(shù)是81，它是自然數(shù)9的平方，第9行共有17個(gè)數(shù)；
（2）表中第（n+1）行的第一個(gè)數(shù)是n²+1，最后一個(gè)數(shù)是（n+1）²，第（n+1）行共有2n+1個(gè)數(shù)；（用含n的代數(shù)式表示）
（3）求第（n+1）行各數(shù)之和．

Answer 1

分析 （1）第1行最后一個(gè)數(shù)為1²，第2行最后一個(gè)數(shù)為2²，第3行最后一個(gè)數(shù)為3²，第4行最后一個(gè)數(shù)為4²，…第9行最后一個(gè)數(shù)為9²，共有9²-8²個(gè)數(shù)；
（2）由（1）知第n+1行最后一數(shù)為（n+1）²，則第一個(gè)數(shù)為n²+1，該行共有（n+1）²-n²個(gè)數(shù)；
（3）通過（2）的結(jié)果列式從而解得結(jié)果．

解答 解：（1）∵第1行最后一個(gè)數(shù)為1²，第2行最后一個(gè)數(shù)為2²，第3行最后一個(gè)數(shù)為3²，第4行最后一個(gè)數(shù)為4²，…
∴第9行最后一個(gè)數(shù)為9²=81，它是自然數(shù)9的平方，共有9²-8²=17個(gè)數(shù)，
故答案為：81，9，17；

（2）由（1）知第（n+1）行的第一個(gè)數(shù)是n²+1，
最后一個(gè)數(shù)是（n+1）²，
共有（n+1）²-n²=2n+1個(gè)數(shù)，
故答案為：n²+1，（n+1）²，2n+1；

（3）第（n+1）行各數(shù)之和等于${\frac{1}{2}×[n}^{2}+1+（n+1）^{2}]×（2n+1）$=（2n+1）（n²+n+1）=2n³+3n²+3n+1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)每行末尾數(shù)字是行數(shù)的平方是解答此題的關(guān)鍵．