Question

19．定義：既有外接圓，又有內(nèi)切圓的凸多邊形叫做雙圓多邊形．如圖1，⊙O₁是△ABC外接圓，⊙O₂是△ABC的內(nèi)切圓，則△ABC就是雙圓三角形．
（1）請寫出一個雙圓四邊形的名你正方形；
（2）如圖2，已知四邊形ABCD是雙圓四邊形，其內(nèi)切圓與四條邊相切于點E，F(xiàn)，G，H，且EG是內(nèi)切圓的直徑，交弦FH于點P，連接EF，F(xiàn)G．
①當∠FGE=40°時，求∠BFE的度數(shù)；
②求證：HF⊥GE．

Answer 1

分析 （1）正方形既有外接圓，又有內(nèi)切圓，所以正方形是雙圓四邊形；
（2）①如圖2中，作直徑FM，連接EM，首先證明∠EMF=∠EFB，于∠EMF=∠EGF，可得∠EFB=∠EGF=40°．
②如圖3中，連接HG．首先證明∠DGH+∠EFB=90°，由①可知，∠EFB=∠EGF，∠DGH=∠HFG，即可推出∠EGF+∠HFG=90°，由此即可證明．

解答 解：（1）正方形既有外接圓，又有內(nèi)切圓，所以正方形是雙圓四邊形，
故答案為正方形．

（2）①如圖2中，作直徑FM，連接EM，

∵FM是直徑，
∴∠MEF=90°，
∴∠EMF+∠MFE=90°，
∵BF是切線，
∴MF⊥BF，
∴∠MFB=90°，
∴∠MFE+∠EFB=90°，
∴∠EMF=∠EFB，
∵∠EMF=∠EGF，
∴∠EFB=∠EGF=40°．

②如圖3中，連接HG．

∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠D+∠B=180°，
∵H、G、F、E是切點，
∴DG=DH，BF=BE，
∴∠DHG=∠DGH，∠BEF=∠BFE，
∴∠D+2∠DGH=180°，∠B+2∠EFB=180°，
∴2∠DGH+2∠EFB=180°，
∴∠DGH+∠EFB=90°，
由①可知，∠EFB=∠EGF，∠DGH=∠HFG，
∴∠EGF+∠HFG=90°，
∴∠GPE=90°，
∴HF⊥GE．

點評 本題考查圓綜合題、直徑的性質(zhì)、圓周角定理、切線長定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考壓軸題．