Question

16．已知，如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，點E在邊BC的延長線上，且OE=OB，連接DE．
（1）求證：DE⊥BE；
（2）如果OE⊥CD，求證：BD•CE=CD•DE．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)得到BO=$\frac{1}{2}$BD，由等量代換推出OE=$\frac{1}{2}$BD，根據(jù)平行四邊形的判定即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)等角的余角相等，得到∠CEO=∠CDE，推出△BDE∽△CDE，即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BO=OD，
∵OE=OB，
∴OE=OD，
∴∠OBE=∠OEB，∠OED=∠ODE，
∵∠OBE+∠OEB+∠OED+∠ODE=180°，
∴∠BEO+∠DEO=∠BED=90°，
∴DE⊥BE；

（2）∵OE⊥CD
∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠CEO=∠CDE，
∵OB=OE，
∴∠DBE=∠CDE，
∵∠BED=∠BED，
∴△BDE∽△DCE，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{DE}{CE}$，
∴BD•CE=CD•DE．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟記定理是解題的關(guān)鍵．