Question

18．我市城市風貌提升工程正在火熱進行中，檢查中發(fā)現(xiàn)一些破舊的公交車候車亭有礙觀瞻，現(xiàn)準備制作一批新的公交車候車亭，查看了網(wǎng)上的一些候車亭圖片后，設計師畫了兩幅側(cè)面示意圖，AB，F(xiàn)G均為水平線段，CD⊥AB，PQ⊥FG，E，H為垂足，且AE=FH，AB=FG=2米，圖1中tanA=$\frac{2}{5}$，tanB=$\frac{3}{5}$，圖2點P在弧FG上．且弧FG所在圓的圓心O到FG，PQ的距離之比為5：2，
（1）求圖1中的CE長；
（2）求圖2中的PH長．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)已知條件得出$\frac{2}{5}$AE=$\frac{3}{5}$BE，再根據(jù)AE+BE=2，求得AE的長，最后計算CE的長即可；
（2）先連接OF和OP，過點O作FG的垂線，作PQ的垂線，構(gòu)造直角三角形，再根據(jù)勾股定理求得OF的長，進而得到OP長，最后根據(jù)勾股定理求得PN的長，進而利用線段的和差關系得到PH的長．

解答 解：（1）∵tanA=$\frac{2}{5}$=$\frac{CE}{AE}$，tanB=$\frac{3}{5}$=$\frac{CE}{BE}$
∴CE=$\frac{2}{5}$AE，CE=$\frac{3}{5}$BE
∴$\frac{2}{5}$AE=$\frac{3}{5}$BE
又∵AB=AE+BE=2
∴AE=1.2
∴CE=1.2×$\frac{2}{5}$=0.48（m）

（2）過點O作FG的垂線，垂足為M，過點O作PQ的垂線，垂足為N，則
FM=1，MH=ON=1.2-1=0.2
∵O到FG，PQ的距離之比為5：2
∴OM=0.5=NH
連接OF和OP，則
直角三角形OFM中，OF=$\sqrt{{1}^{2}+0．{5}^{2}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$=OP
∴直角三角形OPN中，PN=$\sqrt{O{P}^{2}-O{N}^{2}}$=1.1
∴PH=PN-NH=1.1-0.5=0.6（m）

點評 本題主要考查了解直角三角形，解決問題的關鍵是通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題．解題時需要綜合運用銳角三角函數(shù)的性質(zhì)以及勾股定理等知識．