Question

15．已知拋物線y=x²+3x+c過兩點（m，0）、（n，0）且m³+3m²+（c-2）m-2n-c=8，拋物線與雙曲線y=$\frac{k}{x}$的交點為（1，d）．
（1）求拋物線與雙曲線的解析式；
（2）已知點P₁，P₂，…，P₂₀₁₂都在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，它們的橫坐標(biāo)分別為a，2a，…，2012a，O為坐標(biāo)原點，記${S_1}={S_{△{P_1}{P_2}O}}，{S_2}={S_{△{P_1}{P_3}O}}，{S_3}={S_{△{P_1}{P_4}O}}$，…點Q在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＜0）上，過Q作QM⊥y軸于M，記S=S_△QMO．求S₁+S₂+…+S₂₀₁₁+$\frac{S}{2}+\frac{S}{3}+…+\frac{S}{2012}$的值．

Answer 1

分析 （1）由題可知m、n是方程x²+3x+c=0的兩根，從而可得m²+3m+c=0，m+n=-3，將m³+3m²+（c-2）m-2n-c=8轉(zhuǎn)化為m（m²+3m+c）-2（m+n）-c=8，就可求出c，即可得到拋物線的解析式，再根據(jù)拋物線與雙曲線y=$\frac{k}{x}$的交點為（1，d），可求出d和k，即可得到雙曲線的解析式；
（2）過點P₁作直線a₁∥x軸交y軸于A₁，過P_n+1作直線b_n+1∥y軸交x軸于B_n+1、交a₁于C_n+1，如圖，運用割補法可求得Sn=$n+\frac{n}{n+1}$．設(shè)Q（x₁，y₁），則有${y_1}=\frac{2}{x_1}$，即可得到$S={S_{△QMO}}=\frac{1}{2}|{x_1}|•|{y_1}|=1$，然后代入所求式子中，就可解決問題．

解答 解：（1）根據(jù)題意可得：
$\left\{\begin{array}{l}{m（{m}^{2}+3m+c）-2（m+n）-c=8}\\{{m}^{2}+3m+c=0}\\{m+n=-3}\end{array}\right.$，
解得c=-2，
∴拋物線的解析式為y=x²+3x-2．
∵拋物線與雙曲線y=$\frac{k}{x}$的交點為（1，d），
∴$\left\{\begin{array}{l}{d={1}^{2}+3×1-2}\\{d=\frac{k}{1}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{d=2}\\{k=2}\end{array}\right.$，
∴雙曲線的解析式為y=$\frac{2}{x}$；

（2）∵點P₁，P₂，…，P_n+1都在雙曲線y=$\frac{2}{x}$（x＞0）上，它們的橫坐標(biāo)分別為a，2a，…，（n+1）a，
∴點P₁，P₂，…，P_n+1的縱坐標(biāo)分別為$\frac{2}{a}$，$\frac{2}{2a}$，…，$\frac{2}{（n+1）a}$．
過點P₁作直線a₁∥x軸交y軸于A₁，過P_n+1作直線b_n+1∥y軸交x軸于B_n+1、交a₁于C_n+1，如圖，

則Sn=S_P1Pn+1O=（n+1）a•$\frac{2}{a}$-$\frac{1}{2}a•\frac{2}{a}$-$\frac{1}{2}（n+1）a•\frac{2}{（n+1）a}$-$\frac{1}{2}[（n+1）a-a][\frac{2}{a}-\frac{2}{（n+1）a}]$
=$n+\frac{n}{n+1}$．
設(shè)Q（x₁，y₁）（x₁＜0），則${y_1}=\frac{2}{x_1}$，
∴$S={S_{△QMO}}=\frac{1}{2}|{x_1}|•|{y_1}|=1$．
∴S₁+S₂+…+S₂₀₁₁+$\frac{S}{2}+\frac{S}{3}+…+\frac{S}{2012}$
=（1+$\frac{1}{2}$）+（2+$\frac{2}{3}$）+…+（2011+$\frac{2011}{2012}$）+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2012}$
=1+2+…+2011+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{2011}{2012}$+$\frac{1}{2012}$
=1+2+…+2011+1×2011
=$\frac{（1+2011）×2011}{2}$+2011
=2025077．

點評 本題主要考查了拋物線與雙曲線圖象上點的坐標(biāo)特征、根與系數(shù)的關(guān)系、方程解的定義等知識，對運算能力的要求比較高，技巧性強，如第（1）小題將m³+3m²+（c-2）m-2n-c=8巧妙地轉(zhuǎn)化為m（m²+3m+c）-2（m+n）-c=8，第（2）小題運用割補法得到Sn=$n+\frac{n}{n+1}$，代入運算時，將整數(shù)與同分母的分?jǐn)?shù)分別相加，并運用等差數(shù)列的求和公式求和．