Question

9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)P和點(diǎn)P₁關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)P₁和點(diǎn)P₂關(guān)于直線l對稱，則稱點(diǎn)P₂是點(diǎn)P關(guān)于y軸，直線l的二次對稱點(diǎn)．
（1）如圖1，點(diǎn)A（-1，0）．
①若點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于y軸，直線l₁：x=2的二次對稱點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3.0）；
②若點(diǎn)C（-5，0）是點(diǎn)A關(guān)于y軸，直線l₂：x=a的二次對稱點(diǎn)，則a的值為-2；
③若點(diǎn)D（2，1）是點(diǎn)A關(guān)于y軸，直線l₃的二次對稱點(diǎn)，則直線l₃的表達(dá)式為y=-x+2；
（2）如圖2，⊙O的半徑為1．若⊙O上存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)M'是點(diǎn)M關(guān)于y軸，直線l₄：x=b的二次對稱點(diǎn)，且點(diǎn)M'在射線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x（x≥0）上，b的取值范圍是-$\frac{1}{2}$≤b≤1；
（3）E（t，0）是x軸上的動點(diǎn)，⊙E的半徑為2，若⊙E上存在點(diǎn)N，使得點(diǎn)N'是點(diǎn)N關(guān)于y軸，直線l₅：y=$\sqrt{3}$x+1的二次對稱點(diǎn)，且點(diǎn)N'在y軸上，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①②③根據(jù)二次對稱點(diǎn)的定義，分別畫出圖形，即可解決問題．
（2）根據(jù)二次對稱點(diǎn)的定義，畫出圖形，求出b的最大值以及最小值即可解決問題．
（3）如圖6中，設(shè)點(diǎn)E關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為E₁，E₁關(guān)于直線y=$\sqrt{3}$x+1的對稱點(diǎn)為E′，易知當(dāng)點(diǎn)N在⊙E上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)N′在⊙E′上運(yùn)動，由此可見當(dāng)⊙E′與y軸相切或相交時(shí)滿足條件．想辦法求出點(diǎn)E′的坐標(biāo)即可解決問題．

解答 解：（1）．①如圖1中，點(diǎn)A（-1，0）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A₁（1，0），A₁關(guān)于直線x=2的對稱點(diǎn)B（3，0）．

②如圖2中，由題意C（-5，0），A₁（1，0），∵A₁、C關(guān)于直線x=a對稱，
∴a=-2．

③如圖3中，∵A₁（1，0），D（2，1），
∴直線A₁D的解析式為y=x-1，線段A₁D的中垂線的解析式為y=-x+2，
∴直線l₃的解析式為y=-x+2．

故答案分別為（3，0），a=-2．y=-x+2．

（2）如圖4中，

由題意b=$\frac{1}{2}$MM′，由此可知，當(dāng)MM′的值最大時(shí)，可得b的最大值，
∵直線OM′的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴∠MM′O=∠M′OD=30°，
∵OM=1，易知，OM⊥OM′時(shí)，MM′的值最大，最大值為2，
∴b的最大值為1，
如圖5中，易知當(dāng)點(diǎn)M在x軸的正半軸上時(shí)，可得b的最小值，最小值為-$\frac{1}{2}$，

綜上所述，滿足條件的b取值范圍為-$\frac{1}{2}$≤b≤1．
故答案為-$\frac{1}{2}$≤b≤1．

（3）如圖6中，設(shè)點(diǎn)E關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為E₁，E₁關(guān)于直線y=$\sqrt{3}$x+1的對稱點(diǎn)為E′，易知當(dāng)點(diǎn)N在⊙E上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)N′在⊙E′上運(yùn)動，由此可見當(dāng)⊙E′與y軸相切或相交時(shí)滿足條件．

連接E₁E′交直線y=$\sqrt{3}$x+1于K，易知直線E₁E′的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x+1}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{\sqrt{3}}{3}t}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-t-\sqrt{3}}{4}}\\{y=\frac{-\sqrt{3}t+1}{4}}\end{array}\right.$，
∴K（$\frac{-t-\sqrt{3}}{4}$，$\frac{-\sqrt{3}t+1}{4}$），
∵KE₁=KE′，
∴E′（$\frac{t-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{-\sqrt{3}t+1}{2}$），
當(dāng)⊙E′與y軸相切時(shí)，|$\frac{t-\sqrt{3}}{2}$|=2，解得t=$\sqrt{3}$-4或$\sqrt{3}$+4，
綜上所述，滿足條件的t的取值范圍為$\sqrt{3}$-4≤t≤$\sqrt{3}$+4．

點(diǎn)評 本題考查圓綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用、軸對稱變換等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會利用圖形，尋找特殊位置解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．