Question

4．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB交BC于點(diǎn)D，∠CAD=30°．
（1）求證：BD=2CD；
（2）取BD的中點(diǎn)E，連接AE，求證：△ADE為等邊三角形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件AB=AC，∠CAD=30°，AD⊥AB，得到∠BAC=120°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠B=∠C=∠CAD=30°，證得AD=CD，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AE=BE=DE，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠ADE=60°，于是證得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AB=AC，∠CAD=30°，AD⊥AB，
∴∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=∠CAD=30°，
∴AD=CD，
∴BD=2AD=2CD；

（2）解：如圖，∵點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，∠BAD=90°，
∴AE=BE=DE，
∵∠B=30°，
∴∠ADE=60°，
∴△ADE是等邊三角形．

點(diǎn)評 本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵．