Question

12．如圖，矩形OABC在平面直角坐標系內(nèi)（O為坐標原點），點A在x軸上，點C在y軸上，點B的坐標為（-4，-4$\sqrt{3}$），點E是BC的中點，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為EF，點F為折痕與y軸的交點，EF交x軸于G且使∠CEF=60°．
（1）求證：△EFC≌△GFO；
（2）求點D的坐標；
（3）若點P（x，y）是線段EG上的一點，設(shè)△PAF的面積為s，求s與x的函數(shù)關(guān)系式并寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先從B的坐標表示BC和OC的長，從點E為中點表示EC的長，根據(jù)60度的正切值得CF的長，依次可得OG、OF的長，根據(jù)兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩三角形全等得結(jié)論；
（2）如圖2，構(gòu)建矩形MNOC，分別計算DM、DN和MC的長，即可以表示D的坐標；
（3）分兩種情況討論：
①當-2≤x＜0時P在線段EF上，如圖3，
①當0＜x≤2時，P在線段FG上，如圖4，
利用面積差可以表示s與x的關(guān)系式．

解答 證明：（1）如圖1，在矩形OABC中，
∵點B的坐標為（-4，-4$\sqrt{3}$），
∴∠BCO=90°，BC=4，OC=4$\sqrt{3}$，
∵E是BC的中點，
∴EC=$\frac{1}{2}$BC=2，
Rt△ECF中，∵∠CEF=60°，
∴tan60°=$\frac{CF}{CE}=\sqrt{3}$，∠EFC=30°，
∴CF=2$\sqrt{3}$，
∴OF=4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴∠OFG=∠EFC=30°，
tan30°=$\frac{OG}{OF}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴OG=2$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}$=2，
∴EC=OG=2，∠ECF=∠FOG=90°，CF=OF=2$\sqrt{3}$，
∴△EFC≌△GFO；

（2）如圖2，過D作DM⊥BC，延長MD交x軸于N，
∵四邊形MNOC是矩形，
∴MN=CO=4$\sqrt{3}$，
∵折痕為EF，
∴△EFC≌△EFD，
∴DE=CE=2，∠DEF=∠CEF=60°，
∴∠MED=60°，
∴∠MDE=30°，
∴ME=1，
∴DM=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴MC=2=1=3，DN=4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
∴D（-3，3$\sqrt{3}$）；

（3）∵EC=2，CF=OF=2$\sqrt{3}$
∴F（0，2$\sqrt{3}$），E（-2，4$\sqrt{3}$），
設(shè)直線EF的解析式為：y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{b=2\sqrt{3}}\\{-2k+b=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直線EF的解析式為：y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，
由（1）得：△EFC≌△GFO，
∴OG=EC=2，AG=4+2=6，
當-2≤x＜0時，P在線段EF上，如圖3，
∵s=S_△PAF=S_△PAG-S_△FAG=$\frac{1}{2}×6y$-$\frac{1}{2}$×$6×2\sqrt{3}$，
=3y-6$\sqrt{3}$，
=3（$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$）-6$\sqrt{3}$，
=-3$\sqrt{3}$x，
當0＜x≤2時，P在線段FG上，如圖4，
s=S_△PAF=S_△AFG-S_△APG，
=$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×6y，
=6$\sqrt{3}$-3（-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$），
=3$\sqrt{3}$x；
綜上所述，s與x的函數(shù)關(guān)系式為：$\left\{\begin{array}{l}{s=-3\sqrt{3}x（-2≤x＜0）}\\{s=3\sqrt{3}x（0＜x≤2）}\end{array}\right.$．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定、特殊角的三角函數(shù)值、直角三角形30度的性質(zhì)、三角形面積，且利用分類討論的思想解決第三問的面積問題．