Question

11．在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，如遇到$\frac{3}{\sqrt{5}}$，$\sqrt{\frac{2}{3}}$，$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$這樣的式子，還需做進(jìn)一步的化簡(jiǎn)：
$\frac{3}{\sqrt{5}}$=$\frac{3×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．①
$\sqrt{\frac{2}{3}}$=$\sqrt{\frac{2×3}{3×3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．②
$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{2×（\sqrt{3}-1）}{（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3}-1）}$=$\frac{2（\sqrt{3}-1）}{（\sqrt{3}）^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$-1．③
以上化簡(jiǎn)的步驟叫做分母有理化．
$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$還可以用以下方法化簡(jiǎn)：
$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{3-1}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{（\sqrt{3}）^{2}-1}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3}-1）}{\sqrt{3}+1}$=$\sqrt{3}$-1．④
（Ⅰ）請(qǐng)用不同的方法化簡(jiǎn)$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$
（1）參照③式化簡(jiǎn)$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$
（2）參照④式化簡(jiǎn)$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$
（Ⅱ）化簡(jiǎn)：$\frac{1}{\sqrt{3}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）中，通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)：分母有理化的兩種方法：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解達(dá)到約分的目的；
（Ⅱ）中，注意找規(guī)律：分母的兩個(gè)被開(kāi)方數(shù)相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出現(xiàn)抵消的情況．

解答 解：（1）參照③式化簡(jiǎn)$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$=$\frac{2（\sqrt{5}-\sqrt{3}）}{（\sqrt{5}+\sqrt{3}）（\sqrt{5}-\sqrt{3}）}$=$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$．
故答案是：$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$．

（2）參照④式化簡(jiǎn)
$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$=$\frac{5-3}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$=$\frac{（\sqrt{5}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$=$\frac{（\sqrt{5}+\sqrt{3}）（\sqrt{5}-\sqrt{3}）}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$．
故答案是：=$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$．

（Ⅱ）原式=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$+$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$+$\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$+…+$\frac{2}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}$）
=$\frac{1}{2}$[（$\sqrt{3}$-1）+（$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$）+（$\sqrt{7}$-$\sqrt{5}$）+…+（$\sqrt{2n+1}$-$\sqrt{2n-1}$）]
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2n+1}$-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分母有理化．根據(jù)二次根式的乘除法法則進(jìn)行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點(diǎn)的式子．即一項(xiàng)符號(hào)和絕對(duì)值相同，另一項(xiàng)符號(hào)相反絕對(duì)值相同．