Question

16．矩形ABCD中，PE⊥AC，PF⊥BD，點M是線段AD中點，求證：ME=MF．

Answer 1

分析 連接OM、EF，證得O、F、E、P四點共圓和O、E、P、M四點共圓，從而得到O、F、E、M四點共圓，利用圓內接四邊形的性質得到∠MEF=∠MFE，從而證得ME=MF．

解答 證明：連接OM、EF，
∵∠OEP=∠OFP=90°，
∴O、F、E、P四點共圓，
∵∠OEP+∠OMP=180°，
∴O、E、P、M四點共圓，
∴O、F、E、M四點共圓，
∴∠MFE=∠MOE，∠MEF=∠MOD，
∵OA=OB，AM=MD，
∴∠MOA=∠MOD，
∴∠MOE=∠MOD，
∴∠MEF=∠MFE，
∴ME=MF．

點評 本題考查了四點共圓的知識，解題的關鍵是能夠利用證明四點共圓的判定方法進行判斷，另外還應了解圓內接四邊形的性質．