Question

5．1×2=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2），2×3=$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3），3×4=$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4）
由以上三個(gè)等式相加，可得1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×4×5=20
讀完以上材料，請(qǐng)你計(jì)算下列各題，其中（1）需要寫(xiě)出過(guò)程，其它試題直接寫(xiě)出答案
（1）1×2+2×3+3×4+…+6×7=112
（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）
（3）1×2+2×3+3×4+3×4×5+…+6×7×8=746
（4）1×2+2×3+3×4+3×4×5+…+n（n+1）×（n+2）=$\frac{1}{4}$n（n+1）（n+2）（n+3）-10．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意依次列算式，再提取$\frac{1}{3}$，即可得出結(jié)果；
（2）兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)的積等于這兩個(gè)數(shù)與后面的數(shù)相乘減去這兩個(gè)數(shù)與前面的數(shù)相乘的三分之一，按此規(guī)律代入計(jì)算即可；
（3）1×2+2×3+3×4根據(jù)（1）中的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算，3×4×5+…+6×7×8等，類(lèi)比1×2、2×3等得出結(jié)論：3×4×5=$\frac{1}{4}$（3×4×5×6-2×3×4×5），4×5×6=$\frac{1}{4}$（4×5×6×7-3×4×5×6）…代入計(jì)算即可；
（4）類(lèi)比（3）中的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算．

解答 解：（1）∵1×2=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2），2×3=$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3），3×4=$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4）
4×5=$\frac{1}{3}$（4×5×6-3×4×5），5×6=$\frac{1}{3}$（5×6×7-4×5×6），6×7=$\frac{1}{3}$（6×7×8-5×6×7）
由以上六個(gè)等式相加，可得4×5+5×6+6×7=$\frac{1}{3}$×（6×7×8-3×4×5）=92
∴1×2+2×3+3×4+…+6×7
=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2）+$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3）+…+$\frac{1}{3}$（6×7×8-5×6×7），
=$\frac{1}{3}$×6×7×8
=112；
（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1），
=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2）+$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3）+…+$\frac{1}{3}$[n（n+1）（n+2）-n（n-1）（n+1）]，
=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）；
（3）∵3×4×5=$\frac{1}{4}$（3×4×5×6-2×3×4×5），4×5×6=$\frac{1}{4}$（4×5×6×7-3×4×5×6），
5×6×7=$\frac{1}{4}$（5×6×7×8-4×5×6×7），6×7×8=$\frac{1}{4}$（6×7×8×9-5×6×7×8），
又∵1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×4×5=20，
∴1×2+2×3+3×4+3×4×5+…+6×7×8，
=20+$\frac{1}{4}$（3×4×5×6-2×3×4×5）+$\frac{1}{4}$（4×5×6×7-3×4×5×6）+$\frac{1}{4}$（5×6×7×8-4×5×6×7）+$\frac{1}{4}$（6×7×8×9-5×6×7×8），
=20+$\frac{1}{4}$×6×7×8×9-$\frac{1}{4}$×2×3×4×5，
=20+756-30，
=746；
（4）1×2+2×3+3×4+3×4×5+…+n（n+1）×（n+2），
=20+$\frac{1}{4}$n（n+1）（n+2）（n+3）-$\frac{1}{4}$×2×3×4×5，
=$\frac{1}{4}$n（n+1）（n+2）（n+3）-10．
故答案為：（1）112；（2）$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）；（3）746；（4）$\frac{1}{4}$n（n+1）×（n+2）（n+3）-10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)字類(lèi)的變化規(guī)律，比較復(fù)雜，要認(rèn)真觀察，仔細(xì)思考；根據(jù)類(lèi)比和歸納的思想進(jìn)行推理，從而得出結(jié)論，并利用后面的數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證．