Question

2．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10cm，BC=8cm，點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A-D-B-C向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為5cm/s，當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合時(shí)，作PE⊥AB交線段AB于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），△APE的面積為S（cm²）．
（1）求AB的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上時(shí)，求PE的長(zhǎng)（用含t的式子表示）；
（3）當(dāng)P沿A-D-B運(yùn)動(dòng)時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）點(diǎn)E關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)為E′，當(dāng)點(diǎn)E′落在△ABC的內(nèi)部時(shí)，直接寫(xiě)出t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理即可解決問(wèn)題．
（2）只要證明△PBE∽△CAB，可得$\frac{PE}{PB}$=$\frac{BC}{AC}$，由此即可解決問(wèn)題．
（3）分兩種情形討論①當(dāng)0＜t≤1時(shí)．②當(dāng)1＜t＜2時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式求出AE、PE即可解決問(wèn)題．
（4）求出兩個(gè)特殊點(diǎn)的時(shí)間①如圖1中，當(dāng)點(diǎn)E關(guān)于AP的對(duì)稱點(diǎn)E′在線段AC上時(shí)．如圖2中，當(dāng)點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)E關(guān)于AP的對(duì)稱點(diǎn)E′在線段AC上時(shí)．即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10cm，BC=8cm，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
即AB的長(zhǎng)為6；

（2）∵PE⊥AB，BC⊥AB，
∴PE∥BC，∠ABC=∠BEP=90°，
∴∠EPB=∠PBC，
∵點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠DBC=∠DCB，
∴∠EPB=∠DCB，
∴△PBE∽△CAB，
∴$\frac{PE}{PB}$=$\frac{BC}{AC}$，
∴$\frac{PE}{10-5t}$=$\frac{8}{10}$，
∵BP=10-5t，
∴PE=8-4t．

（3）當(dāng)0＜t≤1時(shí)
AE=5t×$\frac{3}{5}$=3t，PE=5t×$\frac{4}{5}$=4t，
S=$\frac{1}{2}$•PE•AE=$\frac{1}{2}$•4t•3t=6t²，
∴S=6t²．
當(dāng)1＜t＜2時(shí)，
AE=6-（10-5t）$\frac{3}{5}$=3t，PE=（10-5t）×$\frac{4}{5}$=8-4t，
S=$\frac{1}{2}$•PE•AE=$\frac{1}{2}$•3t•（8-4t）=-6t²+12t．
∴S=-6t²+12t，
綜上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{6{t}^{2}}&{（0＜t≤1）}\\{-6{t}^{2}+12t}&{（1＜t＜2）}\end{array}\right.$．

（4）如圖1中，當(dāng)點(diǎn)E關(guān)于AP的對(duì)稱點(diǎn)E′在線段AC上時(shí)．作PE′⊥AC于E′，則PE=PE′

∵$\frac{{S}_{△APB}}{{S}_{△APD}}$=$\frac{\frac{1}{2}•AB•PE}{\frac{1}{2}•AD•PE′}$=$\frac{PB}{PD}$，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{PB}{PD}$，
∴$\frac{6}{5}$=$\frac{5-PD}{PD}$，
∴PD=$\frac{25}{11}$，
∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間=（5+$\frac{25}{11}$）÷5=$\frac{16}{11}$s，
觀察圖象可知當(dāng)$\frac{16}{11}$＜t＜2時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E′落在△ABC的內(nèi)部．

如圖2中，當(dāng)點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)E關(guān)于AP的對(duì)稱點(diǎn)E′在線段AC上時(shí)．

同理可得$\frac{AB}{AC}$=$\frac{PB}{PC}$，
∴$\frac{6}{10}$=$\frac{PB}{8-PB}$，
∴PB=3，
∴∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間=（5+5+3）÷5=$\frac{13}{5}$s
觀察圖象可知當(dāng)2＜t＜$\frac{13}{5}$時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E′落在△ABC的內(nèi)部．
綜上所述，當(dāng)$\frac{16}{11}$＜t＜2或2＜t＜$\frac{13}{5}$時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E′落在△ABC的內(nèi)部．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理．角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．