Question

19．問題背景：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為$\sqrt{5}$、$\sqrt{10}$、$\sqrt{13}$，求此三角形的面積．
小軍同學在解答這道題時，先建立一個正方形網格（每個小正方形的邊長為1），再在網格中畫出格點△ABC（即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖1所示，這樣不需要求△ABC的高，而借用網格就能計算它的面積．
（1）請將△ABC的面積直接填寫在橫線上：$\frac{7}{2}$．
（2）我們把上述求△ABC面積的方法叫做構圖法，如果△ABCD的三邊長分別為$\sqrt{5}$a，$\sqrt{13}$a，2$\sqrt{5}$a，請利用圖2的正方形網格（每個小正方形的邊長為a）畫出相應的△ABC，并求出它的面積．
（3）若△ABC三邊的長分別為$\sqrt{9{m}^{2}+4{n}^{2}}$、$\sqrt{{m}^{2}+4{n}^{2}}$、2$\sqrt{{m}^{2}+4{n}^{2}}$（m＞0，n＞0，且m≠n），試運用構圖法畫出相應的△ABC，并求出這個三角形的面積．

Answer 1

分析 （1）△ABC的面積=正方形面積減去三個三角形面積，求出即可；
（2）$\sqrt{5}$a是直角邊長為a，2a的直角三角形的斜邊；2$\sqrt{2}$a是直角邊長為2a，2a的直角三角形的斜邊；$\sqrt{17}$a是直角邊長為a，4a的直角三角形的斜邊，把它整理為一個矩形的面積減去三個直角三角形的面積；
（3）結合（1），（2）易得此三角形的三邊分別是直角邊長為m，4n的直角三角形的斜邊；直角邊長為3m，2n的直角三角形的斜邊；直角邊長為2m，2n的直角三角形的斜邊．同樣把它整理為一個矩形的面積減去三個直角三角形的面積．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：S_△ABC=3²-$\frac{1}{2}$×1×2-$\frac{1}{2}$×2×3-$\frac{1}{2}$×1×3=$\frac{7}{2}$；
故答案為：$\frac{7}{2}$；
（2）如圖：

此時S_△ABC=2a×4a-$\frac{1}{2}$a×2a-$\frac{1}{2}$×2a×2a-$\frac{1}{2}$=3a²；
（3）構造△ABC，如圖所示，

此時S_△ABC=3m×4n-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$×3m×2n-$\frac{1}{2}$×2m×2n=5mn．

點評 此題考查了勾股定理，解題的關鍵是結合網格用矩形及容易求得面積的直角三角形表示出所求三角形的面積進行解答．