Question

10．如圖，直線y=-x+2與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點A和點B，C是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，過點C作CD⊥x軸于點D，交直線AB于點E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求線段CE長度的最大值；
（3）當線段CE長度最大時，射線DC上是否存在點F，使△ABF為等腰三角形，若存在，求出點F的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得點A和點B的坐標，然后將點A、B的坐標代入拋物線的解析式求得b、c的值，從而可求得拋物線的解析式；
（2）設(shè)點C的坐標為（x，-x²+x+2）、則點E的坐標為（x，-x+2），從而可列出CE的長度的代數(shù)式，然后依據(jù)配方法可求得CE的最大值；
（3）設(shè)點F的坐標為（1，a），然后依據(jù)兩點間的距離公式列出關(guān)于a的方程求解即可．

解答 解：（1）∵將x=0代入y=-x+2得：y=2，
∴B（0，2）．
∵將y=0代入y=-x+2得：-x+2=0，解得：x=2，
∴A（2，0）．
將點A、B的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{-4+2b+2=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=2}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為y=-x²+x+2．
（2）設(shè)點C的坐標為（x，-x²+x+2）、則點E的坐標為（x，-x+2）則CE=-x²+x+2-（-x+2）=-（x-1）²+1．
當x=1時，EC有最大值，最大值為1．
（3）設(shè)點F的坐標為（1，a）．
①當FB=FA時，由兩點間的距離公式可知：1²+（a-2）²=1²+a²．
解得a=1．
∴點F的坐標為（1，1）．
∴點F與點E重合，不能構(gòu)成三角形．
②當FB=BA時，由兩點間的距離公式可知：1²+（a-2）²=2²+2²．
解得a=2+$\sqrt{7}$或a=2-$\sqrt{7}$（舍去）．
∴點F的坐標為（1，2+$\sqrt{7}$）．
③當AF=AB時，由兩點間的距離公式可知：1²+a²=2²+2²．
解得：a=$\sqrt{7}$或a=-$\sqrt{7}$（舍去）．
∴點F的坐標為（1，$\sqrt{7}$）．
綜上所述，點F的坐標為（1，2+$\sqrt{7}$）或（1，$\sqrt{7}$）．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，配方法求二次函數(shù)的最值，依據(jù)兩點間的距離公式，依據(jù)兩點間的距離公式列出關(guān)于a的方程是解題的關(guān)鍵．