Question

2．如圖，四邊形ABCD是正方形，點E和點F分別在BC和CD上，∠EAF=45°，AE、AF分別交BD于點M、N，連接EF，EN
（1）圖中與△BME相似的三角形有△AMN，△DNF，△ADM，△AEF；
（2）求證：EF=$\sqrt{2}$MN；
（3）求證：△AEN是等腰直角三角形．

Answer 1

分析 （1）與△BME相似的三角形有△AMN，△DNF，△ADM，△AEF，△ABN．根據(jù)相似三角形的判定方法一一判斷即可．
（2）首先證明△ANE是等腰直角三角形，推出AE=$\sqrt{2}$AN，再證明△AMN∽△AFE即可解決問題．

解答 （1）解：與△BME相似的三角形有△AMN，△DNF，△ADM，△AEF．
理由：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠EBM=∠ADM=∠FDN=∠ABD=45°，
∵∠MAN=∠EBM=45°，∠AMN=∠BME，
∴△AMN∽△BME．
∴∠ANM=∠MEB，
∵∠DNF=∠ANM，
∴∠DNF=∠BEM，∵∠NDF=∠EBM=45°，
∴△DFN∽△BME．
∵∠ADM=∠EBM=45°，∠AMD=∠BME，
∴△DMA∽△BME．
將△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABH，
在△AEF和△AEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{∠EAH=∠EAF}\\{AH=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AEH，
∴∠AEB=∠AEF，
∵∠EAF=∠EBM，
∴△AEF∽△BEM．
∵∠ABN=∠EBM，∠ANB=∠BEM，
∴△BEM∽△BNA，
故答案為△AMN，△DNF，△ADM，△AEF，△ABN．

（2）∵△AMN∽△BME，
∴$\frac{AM}{BM}$=$\frac{MN}{ME}$，
∴$\frac{AM}{MN}$=$\frac{BM}{ME}$，∵∠AMB=∠EMN，
∴△AMB∽△NME，
∴∠AEN=∠ABD=45°，∵∠EAN=45°，
∴∠NAE=∠NEA=45°，
∴△AEN是等腰直角三角形，
∴AE=$\sqrt{2}$AN，
∵△AMN∽△BME，△AFE∽△BME，
∴△AMN∽△AFE，
∴$\frac{MN}{EF}$=$\frac{AN}{AE}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴EF=$\sqrt{2}$MN．

（3））∵△AMN∽△BME，
∴$\frac{AM}{BM}$=$\frac{MN}{ME}$，
∴$\frac{AM}{MN}$=$\frac{BM}{ME}$，∵∠AMB=∠EMN，
∴△AMB∽△NME，
∴∠AEN=∠ABD=45°，∵∠EAN=45°，
∴∠NAE=∠NEA=45°，
∴△AEN是等腰直角三角形．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活應用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線構造全等三角形，學會利用相似三角形的性質解決線段之間的關系問題，屬于中考壓軸題．