Question

8．今年，我國海關(guān)總署嚴厲打擊“洋垃圾”違法行動，堅決把“洋垃圾”拒于國門之外．如圖，某天我國一艘海監(jiān)船巡航到A港口正西方的B處時，發(fā)現(xiàn)在B的北偏東60°方向，相距150海里處的C點有一可疑船只正沿CA方向行駛，C點在A港口的北偏東30°方向上，海監(jiān)船向A港口發(fā)出指令，執(zhí)法船立即從A港口沿AC方向駛出，在D處成功攔截可疑船只，此時D點與B點的距離為75$\sqrt{2}$海里．
（1）求B點到直線CA的距離；
（2）執(zhí)法船從A到D航行了多少海里？（結(jié)果保留根號）

Answer 1

分析 （1）過點B作BH⊥CA交CA的延長線于點H，根據(jù)三角函數(shù)可求BH的長即為所求；
（2）根據(jù)勾股定理可求DH，在Rt△ABH中，根據(jù)三角函數(shù)可求AH，進一步得到AD的長．

解答 解：（1）過點B作BH⊥CA交CA的延長線于點H，
∵∠MBC=60°，
∴∠CBA=30°，
∵∠NAD=30°，
∴∠BAC=120°，
∴∠BCA=180°-∠BAC-∠CBA=30°，
∴BH=BC×sin∠BCA=150×$\frac{1}{2}$=75（海里）．
答：B點到直線CA的距離是75海里；
（2）∵BD=75$\sqrt{2}$海里，BH=75海里，
∴DH=$\sqrt{B{D}^{2}-B{H}^{2}}$=75海里，
∵∠BAH=180°-∠BAC=60°，
在Rt△ABH中，tan∠BAH=$\frac{BH}{AH}$=$\sqrt{3}$，
∴AH=25$\sqrt{3}$海里，
∴AD=DH-AH=（75-25$\sqrt{3}$）（海里）．
答：執(zhí)法船從A到D航行了（75-25$\sqrt{3}$）海里．

點評 此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，熟練應(yīng)用銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．