Question

16．下列關于函數(shù)y=x²-6x+10的四個命題：
①當x=0時，y有最小值10；
②n為任意實數(shù)，x=3+n時的函數(shù)值大于x=3-n時的函數(shù)值；
③若n＞3，且n是整數(shù)，當n≤x≤n+1時，y的整數(shù)值有（2n-4）個；
④若函數(shù)圖象過點（a，y₀）和（b，y₀+1），其中a＞0，b＞0，則a＜b．
其中真命題的序號是（　�。�

• A． ①
• B． ②
• C． ③
• D． ④

Answer 1

分析 分別根據(jù)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系、拋物線的頂點坐標公式及拋物線的增減性對各選項進行逐一分析．

解答 解：∵y=x²-6x+10=（x-3）²+1，
∴當x=3時，y有最小值1，故①錯誤；
當x=3+n時，y=（3+n）²-6（3+n）+10，
當x=3-n時，y=（n-3）²-6（n-3）+10，
∵（3+n）²-6（3+n）+10-[（n-3）²-6（n-3）+10]=0，
∴n為任意實數(shù)，x=3+n時的函數(shù)值等于x=3-n時的函數(shù)值，故②錯誤；
∵拋物線y=x²-6x+10的對稱軸為x=3，a=1＞0，
∴當x＞3時，y隨x的增大而增大，
當x=n+1時，y=（n+1）²-6（n+1）+10，
當x=n時，y=n²-6n+10，
（n+1）²-6（n+1）+10-[n²-6n+10]=2n-4，
∵n是整數(shù)，
∴2n-4是整數(shù)，故③正確；
∵拋物線y=x²-6x+10的對稱軸為x=3，1＞0，
∴當x＞3時，y隨x的增大而增大，x＜0時，y隨x的增大而減小，
∵y0+1＞y0，∴當0＜a＜3，0＜b＜3時，a＞b，當a＞3，b＞3時，a＜b，當0＜a＜3，b＞3時，a＜b，當0＜a＜3，b＞3時，a＜b，故④是假命題．故選C．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)的意義，性質，圖象，能夠根據(jù)二次函數(shù)的性質數(shù)形結合是解決問題的關鍵．