Question

9．如圖，拋物線y═ax²+bx+c交x軸于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸，點(diǎn)B在x軸的正半軸），交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，且OA=OC=$\frac{1}{2}$BO=k（k＞0）．點(diǎn)D在拋物線的對(duì)稱軸上，BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)F．
（1）用含k的代數(shù)式表示點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求b的值；
（3）若D的縱坐標(biāo)為4，以BC，BD為邊作?CBDE．
①當(dāng)點(diǎn)E恰好落在拋物線上時(shí)，求k的值；
②設(shè)△BDF的面積為S₁，?CBDE的面積為S₂，則$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的值等于$\frac{3}{8}$（直接寫出答案）．

Answer 1

分析 （1）由題意可知OB=2k，可得B（2k，0）．
（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+k）（x-2k），把C（0，-k）代入，-k=-2k²a，可得a=$\frac{1}{2k}$，推出拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2k}$x²-$\frac{1}{2}$x-k，可得b=-$\frac{1}{2}$．
（3）①利用平行四邊形的性質(zhì)以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，代入拋物線的解析式，解方程即可解決問(wèn)題．
②設(shè)DE交y軸于K，易知△BDF≌△ECK，推出S_△BDF=S_△ECK，由直線BC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-k，D（$\frac{k}{2}$，4），推出F（$\frac{k}{2}$，-$\frac{3}{4}$k），推出DF=4+$\frac{3}{4}$k，推出S₁=$\frac{1}{2}$•（4+$\frac{3}{4}$k）•$\frac{3}{2}$k=$\frac{3}{4}$k（4+$\frac{3}{4}$k），S₂=2S₁+（4+$\frac{3}{4}$k）•$\frac{1}{2}$k=2k（4+$\frac{3}{4}$k），由此即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）∵OA=OC=$\frac{1}{2}$BO=k（k＞0），
∴OA=OC=k，OB=2k，
∴A（-k，0），B（2k，0），C（0，-k），
∴B（2k，0）．

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+k）（x-2k），
把C（0，-k）代入，-k=-2k²a，
∴a=$\frac{1}{2k}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2k}$x²-$\frac{1}{2}$x-k，
∴b=-$\frac{1}{2}$．

（3）①連接BE、CD，BE交CD于G，
∵四邊形EDBC是平行四邊形，
∴EG=BG，GD=GC，設(shè)E（m，n），
∵C（0，-k），B（2k，0），D（$\frac{k}{2}$，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m+2k}{2}=\frac{0+\frac{k}{2}}{2}}\\{\frac{n+0}{2}=\frac{-k+4}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{3}{2}k}\\{n=4-k}\end{array}\right.$，
∴E（-$\frac{3}{2}$k，4-k），
∵點(diǎn)E在拋物線上，
∴4-k=$\frac{1}{2k}$•$\frac{9}{4}$k²-$\frac{1}{2}$（-$\frac{3}{2}$k）-k，
解得k=$\frac{32}{15}$．

②設(shè)DE交y軸于K，易知△BDF≌△ECK，
∴S_△BDF=S_△ECK，
∵直線BC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-k，
∵D（$\frac{k}{2}$，4），
∴F（$\frac{k}{2}$，-$\frac{3}{4}$k），
∴DF=4+$\frac{3}{4}$k，
∴S₁=$\frac{1}{2}$•（4+$\frac{3}{4}$k）•$\frac{3}{2}$k=$\frac{3}{4}$k（4+$\frac{3}{4}$k），
S₂=2S₁+（4+$\frac{3}{4}$k）•$\frac{1}{2}$k=2k（4+$\frac{3}{4}$k），
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{\frac{3}{4}k（4+\frac{3}{4}k）}{2k（4+\frac{3}{4}k）}$=$\frac{3}{8}$．
故答案為$\frac{3}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、平行四邊形的性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．