Question

19．閱讀材料題：如果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0的兩個根，那么x₁+x₂=$-\frac{a}$，${x_1}．{x_2}=\frac{c}{a}$．這是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，我們利用它可以來計算某些代數(shù)式的值．
例：x₁，x₂是方程x²+6x-3=0的兩個根，求$x_1^2+x_2^2$的值．
可以這樣求解：∵x₁+x₂=-6，x₁x₂=-3，
∴$x_1^2+x_2^2$=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（-6）²-2×（-3）=42
請你根據(jù)以上解答完成下列問題：
已知x₁，x₂是方程x²-4x+2=0的兩根，分別求下列代數(shù)式的值．
（1）（x₁+1）（x₂+1）的值；       
（2）$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$的值；       
（3）x₁x${\;}_{2}^{2}$+x${\;}_{1}^{2}$x₂的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可以求得兩根之積或兩根之和，根據(jù)（x₁+1）（x₂+1）=x₁•x₂+（x₁+x₂）+1代入數(shù)值計算即可；
（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可以求得兩根之積或兩根之和，欲求$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$的值，根據(jù)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$代入數(shù)值計算即可；
（3）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可以求得兩根之積或兩根之和，欲求x₁x${\;}_{2}^{2}$+x${\;}_{1}^{2}$x₂的值，根據(jù)x₁x${\;}_{2}^{2}$+x${\;}_{1}^{2}$x₂=x₁x₂（x₁+x₂）代入數(shù)值計算即可．

解答 解：∵x₁，x₂是方程x²-4x+2=0，
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=2，
∴（1）（x₁+1）（x₂+1）=x₁•x₂+（x₁+x₂）+1=2+4+1=7；
（2）$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=2，；
（3）x₁x${\;}_{2}^{2}$+x${\;}_{1}^{2}$x₂=x₁x₂（x₁+x₂）=2×4=8．

點評 此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．