Question

10．拋物線y=x²+2x+m與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點(diǎn)，其中x₁＞x₂，且x₁²+x₂²=10．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）設(shè)M（2，y₀）是拋物線y=x²+2x+m上的一點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)P，使得PA+PM的值最小，
并求出P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由y=x²+2x+m與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點(diǎn)，則x₁+x₂=-2，x₁x₂=m，代入x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=10．解方程后檢驗(yàn)△即可；
（2）求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，求MB的解析式與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²+2x+m與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點(diǎn)，
∴x₁+x₂=-2，x₁x₂=m，
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=10，
∴4-2m=10
解得：m=-3
∵△=4-4×（-3）=16＞0，
∴m的值為：-3；
（2）∵M(jìn)（2，y₀）是拋物線y=x²+2x-3上的一點(diǎn)，
∴M（2，5），
令y-0，則0=x²+2x-3，x₁＞x₂，
解得：x₁=1，x₂=-3，
∴A（1，0），B（-3，0），
拋物線y=x²+2x-3的對(duì)稱(chēng)軸為：x=-$\frac{2}{2×1}$=-1，
要在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)P，使得PA+PM的值最小，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知直線BM與直線x=-1的交點(diǎn)即為所求，
設(shè)直線BM的解析式為y=kx+b，過(guò)B（-3，0）M（2，5）兩點(diǎn)，則
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{2k+b=5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$
∴y=x+3
當(dāng)x=-1時(shí)，y=2
∴P（-1，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)、待定系數(shù)法以及最短路徑問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．