Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上，OA=2，OC=3，OB=4．點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)A，B重合），點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿x軸正方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（當(dāng)點(diǎn)E停止時(shí)，點(diǎn)F也同時(shí)停止），當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí)，解答下列問題：
（1）求點(diǎn)F的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△BEF與△BAC相似：
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△BEF的面積最大？并求出此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)，根據(jù)FG⊥OB，CO⊥AB，得到FG∥OC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到$\frac{FG}{OC}$=$\frac{BG}{OB}$=$\frac{BF}{BC}$，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可；
（2）分△BEF∽△BAC和△BEF∽△BCA兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式計(jì)算即可；
（3）根據(jù)三角形面積公式得到二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)有最大值時(shí)t的值，得到此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)．

解答 解：（1）作FG⊥OB于G，
∵OC=3，OB=4，
由勾股定理得，BC=5，
由題意得，BF=t，
∵FG⊥OB，CO⊥AB，
∴FG∥OC，
∴$\frac{FG}{OC}$=$\frac{BG}{OB}$=$\frac{BF}{BC}$=$\frac{t}{5}$，
∴FG=$\frac{3}{5}$t，BG=$\frac{4}{5}$t，
則OG=4-$\frac{4}{5}$t，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4-$\frac{4}{5}$t，$\frac{3}{5}$t）；
（2）當(dāng)△BEF∽△BAC，
$\frac{BE}{BA}$=$\frac{BF}{BC}$，即$\frac{6-2t}{6}$=$\frac{t}{5}$，
解得，t=$\frac{15}{8}$；
當(dāng)△BEF∽△BCA，
$\frac{BE}{BC}$=$\frac{BF}{BA}$，即$\frac{6-2t}{5}$=$\frac{t}{6}$，
解得，t=$\frac{36}{17}$，
∴當(dāng)t=$\frac{15}{8}$或$\frac{36}{17}$時(shí)，△BEF與△BAC相似；
（3）△BEF的面積=$\frac{1}{2}$×（6-t）×$\frac{3}{5}$t
=-$\frac{3}{5}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{20}$，
∴當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時(shí)，△BEF的面積最大，
4-$\frac{4}{5}$t=$\frac{14}{5}$，$\frac{3}{5}$t=$\frac{9}{10}$，
∴此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（$\frac{14}{5}$，$\frac{9}{10}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似三角形的知識(shí)的綜合運(yùn)用，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的正確運(yùn)用以及分情況討論思想的應(yīng)用．