Question

2．已知△ABC，∠ABC的平分線BD，∠ACB的平分線CE交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作FO⊥OC，OF交BC于F，連接AO．
（1）如圖1，求證：∠AOB=∠BFO；
（2）如圖2，當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，若OD=$\frac{1}{3}$BO，請你探究線段OA和OE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)得出∠AOB=90$°+\frac{1}{2}∠$ACB，∠BFO=90$°+\frac{1}{2}∠$ACB，從而證得∠AOB=∠BFO；
（2）作OG⊥AB于G，OH⊥BC于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出OG=OH，進(jìn)而根據(jù)等角的余角相等證得∠OEG=∠OFH，即可證得△OGE≌△OHF，得出OE=OF，由OA是角平分線證得△AGO是等腰直角三角形，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出$\frac{BG}{AG}$=$\frac{BO}{OD}$=$\frac{3}{1}$，設(shè)AG=OG=x，則BG=3x，AB=4x，根據(jù)勾股定理求得BO=$\sqrt{A{G}^{2}+O{G}^{2}}$=$\sqrt{10}$x，然后根據(jù)△ABO∽△OBF，對應(yīng)邊成比例證得OA=$\frac{2}{5}$$\sqrt{10}$OE．

解答 解：（1）如圖1，∵∠ABC的平分線BD，∠ACB的平分線CE交于點(diǎn)O，
∴AO平分∠BAC，
∴∠ABO=$\frac{1}{2}∠$ABC，∠BAO=$\frac{1}{2}∠$BAC，
∵∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC，
∴∠AOB=180°-$\frac{1}{2}∠$ABC-$\frac{1}{2}$BAC=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠BAC）=90$°+\frac{1}{2}∠$ACB，
∵FO⊥OC，
∴∠FOC=90°，
∵∠BFO=∠FOC+∠OCF，∠OCF=$\frac{1}{2}∠$ACB，
∴∠BFO=90$°+\frac{1}{2}∠$ACB，
∴∠AOB=∠BFO；
（2）如圖2，作OG⊥AB于G，OH⊥BC于H，
∵BD平分∠ABC，
∴OG=OH，
∵∠BAC=90，F(xiàn)O⊥OC，
∴∠ACE+∠AEC=90°，∠BCE+∠OFC=90°，
∵∠ACE=∠BCE，
∴∠AEC=∠OFC，
在△OGE和△OHF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OGE=∠OHF=90°}\\{∠GEO=∠HFO}\\{OG=OH}\end{array}\right.$，
∴△OGE≌△OHF（AAS），
∴OE=OF，
∵OG⊥AB，∠BAC=90°，
∴OG∥AC，
∴$\frac{BG}{AG}$=$\frac{BO}{OD}$=$\frac{3}{1}$，
∵OA平分∠BAC，
∴∠GAO=45°，
∴△GAO是等腰直角三角形，
∴AG=OG，
設(shè)AG=OG=x，則BG=3x，AB=4x，
∴BO=$\sqrt{A{G}^{2}+O{G}^{2}}$=$\sqrt{10}$x，
由（1）可知：∠AOB=∠BFO，
∵∠ABO=∠OBF，
∴△ABO∽△OBF，
∴$\frac{AO}{OF}$=$\frac{AB}{OB}$=$\frac{4x}{\sqrt{10}x}$=$\frac{2}{5}$$\sqrt{10}$，
∴OA=$\frac{2}{5}$$\sqrt{10}$OF=$\frac{2}{5}$$\sqrt{10}$OE．

點(diǎn)評 本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理以及勾股定理等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．