Question

10．（1）畫圖探究：如圖1，若點A，B在直線l的同側(cè)，在直線l上求作一點P，使AP+BP的值最�。ūＡ糇鲌D痕跡，不寫作法）．
（2）實踐運用：如圖2，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，E為AB的中點，P是BC上一動點，則PA+PE的最小值是$\sqrt{5}$；
（3）拓展延伸：如圖3，∠AOB=30°，P是∠AOB內(nèi)一定點，PO=10，Q，R分別是OA，OB上的動點，求△PQR周長的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)軸對稱-最短路線問題解答；
（2）作點A關(guān)于BC的對稱點D，連接ED交BC于P，則PA+PE的值最小，連接BD，根據(jù)勾股定理求出DE即可．
（3）根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)，作出P關(guān)于OA、OB的對稱點M、N，連接MN，根據(jù)兩點之間線段最短得到最小值線段，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可．

解答 解：（1）如圖1所示，當P即為所求；
（2）如圖2，作點A關(guān)于BC的對稱點D，連接ED交BC于P，則PA+PE的值最小，連接BD，
由題意得，∠ABD=90°，∠DBC=45°，
∴BD=AB=2，又BE=$\frac{1}{2}$AB=1，
由勾股定理得，DE=$\sqrt{B{D}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
則PA+PE的最小值是$\sqrt{5}$，
故答案為：$\sqrt{5}$；
（3）分別作P關(guān)于OA、OB的對稱點M、N，
連接MN交OA、OB交于Q、R，則△PQR符合條件．
連接OM、ON，
由軸對稱的性質(zhì)可知，OM=ON=OP=10，
∠MON=∠MOP+∠NOP=2∠AOB=2×30°=60°，
則△MON為等邊三角形，
∴MN=10，
∵QP=QM，RN=RP，
∴△PQR周長=MN=10．

點評 本題考查了軸對稱-最短路徑問題，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出對稱點是解題的關(guān)鍵，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)的靈活運用．