Question

1．如圖，一次函數(shù)y=-x+1的圖象與x軸，y軸分別交于點A，B，點C在y軸的正半軸上，且OC=3．在直線AB上有一點P，若滿足∠CPB＞∠ACB，則點P橫坐標x的取值范圍是-4＜x＜2且x≠0．

Answer 1

分析 首先利用一次函數(shù)解析式得出AO，BO的長，再利用勾股定理得出AC，AB的長，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出即可．

解答 解：如圖所示：過點P₁作P₁E⊥x軸于點E，
∵一次函數(shù)y=-x+1的圖象與x軸，y軸分別交于點A，B，點C在y軸的正半軸上，且OC=3，
∴AO=BO=1，則BC=2，AC=$\sqrt{10}$，AB=$\sqrt{2}$，
當∠CP₁B=∠ACB時，
又∵∠CAB=∠CAP₁，
∴△CAB∽△P₁AC，
∴$\frac{AC}{A{P}_{1}}$=$\frac{AB}{AC}$，
則$\frac{\sqrt{10}}{A{P}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}$，
解得：AP₁=5$\sqrt{2}$，
則AE=P₁E=5，
故P₁（-4，5），
當∠CPB＞∠ACB時，則點P橫坐標x滿足：-4＜x，
同理可得：當∠CP₂B=∠ACB時，
又∵∠ABC=∠P₂BC，
∴△CAB∽△P₂CB，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BC}{B{P}_{2}}$，
則$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{2}{B{P}_{2}}$，
解得：BP₂=2$\sqrt{2}$，
可得P₂（2，-1），
故當∠CPB＞∠ACB時，則點P橫坐標x滿足：2＞x，當x=1時，A，P點重合，不合題意舍去．
綜上所述：-4＜x＜2且x≠0．
故答案為：-4＜x＜2且x≠0．

點評 此題主要考查了一次函數(shù)綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．