Question

11．對(duì)方程a²b²+a²+b²=2004，求出至少一組整數(shù)解．

Answer 1

分析 由原方程得到：（a²+1）（b²+1）=5×401，由于a、b都是整數(shù)，所以由該等式得到方程組$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+1=5}\\{^{2}+1=401}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+1=401}\\{^{2}+1=5}\end{array}\right.$，從而求出a、b的值．

解答 解：由a²b²+a²+b²=2004，得
a²+b²+a²b²+1=2004+1，
∴a²（b²+1）+（b²+1）=2005，
∴（b²+1）（a²+1）=5×401
∵a，b都是整數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+1=5}\\{^{2}+1=401}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+1=401}\\{^{2}+1=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=±2}\\{b=±20}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=±20}\\{b=±2}\end{array}\right.$．
綜上所述，a的值為±2，b的值為±20；或a的值為±20，b的值為±2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了非一次不定方程（組），因式分解的應(yīng)用．此題的難點(diǎn)是把已知等式轉(zhuǎn)化為形式：（b²+1）（a²+1）=5×401．