Question

18．如圖，在△ABC中，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D．以AB為直徑的半⊙O分別與
AC、CD相交于點(diǎn)E、F，連接AF、EF．
（1）求證：∠AFE=∠ACD；
（2）若CE=4，CB=4$\sqrt{5}$，tan∠CAB=$\frac{4}{3}$，求FD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接BE，由AB是⊙O的直徑，得到∠AEB=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠ABE=∠ACD，等量代換即可得到結(jié)論；
（2）連接OF，根據(jù)勾股定理得到BE=$\sqrt{C{B}^{2}-C{E}^{2}}$=8，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到sin∠CAB=$\frac{4}{5}$，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接BE，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠CAD+ABE=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ABE=∠ACD，
∵∠ABE=∠AFE，
∴∠AFE=∠ACD；

（2）連接OF，
∵∠BEC=90°，
∴BE=$\sqrt{C{B}^{2}-C{E}^{2}}$=8，
∵tan∠CAB=$\frac{4}{3}$，
∴sin∠CAB=$\frac{4}{5}$，
∵AC=AE+CE=10，
∴CD=8，
∴AD=6，
∵OD=AD-OA=1，
∴OF=5，
∴DF=$\sqrt{O{F}^{2}-O{D}^{2}}$=2$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周角定理，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．