Question

8．如圖，AB是⊙O的直徑，且AB=6，C是⊙O上一點(diǎn)，D是$\widehat{BC}$的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作⊙O的切線，與AB、AC的延長線分別交于點(diǎn)E、F，連接AD．
（1）求證：AF⊥EF；
（2）填空：
①當(dāng)BE=6時(shí)，點(diǎn)C是AF的中點(diǎn)；
①當(dāng)BE=3時(shí)，四邊形OBDC是菱形．

Answer 1

分析 （（1）連接OD，由ED為⊙O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥ED，由D是$\widehat{BC}$的中點(diǎn)，由垂徑定理得到OD⊥BC，又由EF∥BC，由AB為⊙O的直徑，得到∠ACB=90°，由平行線的性質(zhì)得到結(jié)論；
（2）①根據(jù)平行線平分線段定理，當(dāng)B為AE的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)C是AF的中點(diǎn)；
②由切線的性質(zhì)可證得OD⊥EF，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得到BD=OB=BE，由D是$\widehat{BC}$的中點(diǎn)，得到CD=BD，由此得到CD=BD=BO=OD．

解答 解：（1）連接OD，BD，BC，
∵ED為⊙O的切線，
∴OD⊥EF，
∵D是$\widehat{BC}$的中點(diǎn)，
∴OD⊥BC，
∴EF∥BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠AFE=90°，
∴AF⊥EF；

（2）①當(dāng)BE=6時(shí)，
解：由（1）知，BC∥EF，當(dāng)AB=BE時(shí)，AC=CF，
∴當(dāng)BE=6時(shí)，點(diǎn)C是AF的中點(diǎn)，
故答案為：6；
②當(dāng)BE=3時(shí)，
解：∵AB是⊙O的直徑，AB=6，
∴OB=OD=OC=BE=3，
∵ED為⊙O的切線，
∴OD⊥EF，
∴BD=OB=BE，
∵D是$\widehat{BC}$的中點(diǎn)，
∴CD=BD，
∴CD=BD=BO=OD，
四邊形OBDC是菱形．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，直徑所對(duì)圓周角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定，菱形的判定，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線．