Question

16．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，點(diǎn)D是線段AC上一點(diǎn)，連接BD，過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，點(diǎn)F是AB垂直平分線上一點(diǎn)，連接BF、EF．
（1）若AD=6$\sqrt{2}$，tan∠BCE=$\frac{3}{10}$，求AB的長；
（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F在AC邊上時(shí)，求證：CE-BE=$\sqrt{2}$EF；
（3）如圖2，若∠BDC=75°，當(dāng)∠AFB=30°時(shí)，直接寫出（$\frac{EF}{EC}$）²的值．

Answer 1

分析 （1）先過點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，構(gòu)造等腰直角三角形，求得DM=AM=$\frac{AD}{\sqrt{2}}$=6，再根據(jù)∠ABD=∠BCE，得出tan∠BCE=tan∠ABD=$\frac{DM}{BM}$=$\frac{3}{10}$，求得BM=20，進(jìn)而根據(jù)AB=AM+BM進(jìn)行計(jì)算；
（2）在CE上截取CN=BE，連接FN，先判定△BEF≌△CFN，得出△EFN是等腰直角三角形，得到EN=$\sqrt{2}$EF，再根據(jù)EN=CE-CN，得出CE-BE=$\sqrt{2}$EF；
（3）先延長BD交AC于G，作EH⊥BF于H，設(shè)CE與BF交于I，連接GI，構(gòu)造等腰直角三角形和含30°角的直角三角形，再設(shè)BE=a，得出BG=2a，CE=$\sqrt{3}$a，EH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=HI，GI=$\sqrt{2}$a，并求得HF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+$\sqrt{6}$a，最后在Rt△EFH中，得出EF²=（7+2$\sqrt{3}$）a²，計(jì)算（$\frac{EF}{EC}$）²的值即可．

解答 解：（1）如圖1，過點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，
∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠A=45°，
∴AM=DM，
∵AD=6$\sqrt{2}$，
∴DM=AM=$\frac{AD}{\sqrt{2}}$=6，
∵CE⊥BD，
∴∠BEC=90°=∠ABC，
∴∠BCE+∠EBC=90，∠EBC+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠BCE，
∴tan∠BCE=tan∠ABD=$\frac{DM}{BM}$=$\frac{3}{10}$，即$\frac{6}{BM}=\frac{3}{10}$，
∴BM=20，
∴AB=AM+BM=6+20=26；

（2）∵F是AB的垂直平分線上的點(diǎn)，
∴AF=BF，
∴∠A=∠ABF=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠FBC=45°，
∴∠FBC=∠FCB，且∠ABD=∠BCE，
∴BF=CF，∠EBF=∠ECF，
如圖1，在CE上截取CN=BE，連接FN，
∵BF═CF，∠EBF=∠ECF，
∴△BEF≌△CFN，
∴FN=EF，∠BFE=∠CFN，
∵∠FCB=∠FBC=45°，
∴∠BFC=90°，
∴∠CFN+∠BFN=90°，
∴∠BFE+∠BFN=90°，
∴∠EFN=90°，且EF=FN，
∴△EFN是等腰直角三角形，
∴EN=$\sqrt{2}$EF，
∵EN=CE-CN，
∴CE-BE=$\sqrt{2}$EF；

（3）（$\frac{EF}{EC}$）²=$\frac{7+2\sqrt{3}}{3}$．
理由：如圖2，延長BD交AC于G，作EH⊥BF于H，設(shè)CE與BF交于I，連接GI，
∵∠AFB=30°，點(diǎn)F是AB垂直平分線上一點(diǎn)，
∴∠BAF=∠ABF=75°，
∵∠BDC=75°=∠ADG，∠DAG=75°-45°=30°，
∴∠AGB=75°，
∴AB=GB，
∵△ABG中，∠ABD=180°-75°×2=30°，
∴∠GBF=75°-30°=45°，且∠CBE=60°，
∵CE⊥BE，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$BG=EG，
∴IE垂直平分BG，即IG=IB，
∴∠BGI=∠IBG=45°，即GI⊥BI，
設(shè)BE=a，則BG=2a，CE=$\sqrt{3}$a，EH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=HI，GI=$\sqrt{2}$a，
∵∠GFI=30°，
∴Rt△FGI中，F(xiàn)I=$\sqrt{3}$GI=$\sqrt{6}$a，
∴HF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+$\sqrt{6}$a，
∴Rt△EFH中，EF²=EH²+HF²=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+$\sqrt{6}$a）²=（7+2$\sqrt{3}$）a²，
∴$（\frac{EF}{EC}）^{2}=\frac{E{F}^{2}}{E{C}^{2}}$=$\frac{（7+2\sqrt{3}）{a}^{2}}{（\sqrt{3}a）^{2}}$=$\frac{7+2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是三角形的綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形、等腰直角三角形和30°角的直角三角形，需要運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算和推導(dǎo)．解題時(shí)注意：等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．