Question

15．探究應(yīng)用：
（1）完成填空：
?①（x-1）（x+1）=x²-1
?②（x-1）（x²+x+1）=x³-1
?③（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1
④（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）=x⁵-1
…
（2）拓展應(yīng)用：
①試求2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1的值
②直接判斷：2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2²+2+1的值的個(gè)位數(shù)字是7．

Answer 1

分析 （1）依據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算，然后合并同類項(xiàng)即可；
（2）依據(jù)（1）中的計(jì)算找出其中的規(guī)律，最后，依據(jù)規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）依據(jù)（1）中的計(jì)算規(guī)律得到原式=2²⁰¹⁵-1，然后找出2的正整數(shù)次冪的個(gè)位數(shù)的規(guī)律，最后依據(jù)規(guī)律解答即可．

解答 解：（1）②（x-1）（x²+x+1）=x³+x²+x-x²-x-1=x³-1；
③（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴+x³+x²+x-x³-x²-x-1=x⁴-1；
④（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）=x⁵+x⁴+x³+x²+x-x⁴-x³-x²-x-1=x⁵-1；
（2）2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1=（2-1）（2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1）=2⁷-1=127
（3）2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2²+2+1=（2-1）（2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2²+2+1）=2²⁰¹⁵-1．
∵2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，2⁶=64，
∴2²⁰¹⁵的個(gè)位數(shù)為8，
∴2²⁰¹⁵-1的個(gè)位數(shù)為7．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式找出其中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．