Question

6．如圖，點D是△ABC中AB邊上的一個動點，點D關(guān)于AC，BC對稱點分別是點E和點F，∠A=45°，∠B=75°，AC=8，則EF的最小值是（　�。�

• A． 4$\sqrt{6}$
• B． 8
• C． 4$\sqrt{3}$
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先連接CD，CE，CF，根據(jù)點D關(guān)于AC，BC對稱點分別是點E和點F，得出△CEF是等腰三角形，再根據(jù)∠A=45°，∠B=75°，求得∠ACB=60°，∠ECF=120°，∠CEF=∠CFE=30°，根據(jù)垂線段最短求得CD的長，最后過點C作CG⊥EF，在等腰三角形ECF中，根據(jù)EF=2EG，求得EF．

解答 解：如圖，連接CD，CE，CF，
∵點D關(guān)于AC，BC對稱點分別是點E和點F，
∴CE=CD=CF，∠ACB=$\frac{1}{2}$∠ECF，
∴△CEF是等腰三角形，
∵∠A=45°，∠B=75°，
∴∠ACB=60°，
∴∠ECF=120°，∠CEF=∠CFE=30°，
∴當(dāng)CE，CF最短時，EF最短，
∵當(dāng)CD⊥AB時，CD最短，而AC=8，
∴Rt△ACD中，CD=4$\sqrt{2}$，
∴CE=CD=CF=4$\sqrt{2}$，
過點C作CG⊥EF，則等腰三角形ECF中，EF=2EG，
∵Rt△CEG中，CG=$\frac{1}{2}$CE=2$\sqrt{2}$，
∴EG=2$\sqrt{6}$，
∴EF=2EG=4$\sqrt{6}$．
故選：A．

點評 本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造等腰三角形和直角三角形，根據(jù)垂線段最短進行判斷．