Question

16．已知△ABC，分別以AB，AC為邊在△ABC外側(cè)作△ABD和△ACE，使AB=AD，AC=AE，且∠BAD=∠EAC，BE，CD交于點(diǎn)P．

①如圖1，求證：CD=BE；
②如圖2，當(dāng)∠BAD=60°時(shí)，求證：PD=PA+PB；
③如圖3，當(dāng)∠BAD=90°時(shí)，若∠BAC=45°，∠BAP=30°，試探究線段BD，CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 ①由SAS證明△ACD≌△AEB，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可；
②在PD上截取PM=PA，連接AM，同（1）得：△ACD≌△AEB，得出∠ADC=∠ABE，得出A、D、B、P四點(diǎn)共圓，由圓周角定理得出∠APD=∠ABD，證出△ABD是等邊三角形，得出∠ABD=60°，得出△APM是等邊三角形，因此AM=PA，由AAS證明△ADM≌△ABP，得出MD=PB，即可得出結(jié)論；
③由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠ABD=45°=∠BAC，證出BD∥AC，同理：AB∥CE，得出∠BCD=∠BNC，同①得：A、D、B、P四點(diǎn)共圓，由圓周角定理得出∠BDP=∠BAP=30°，由三角形的外角性質(zhì)得出∠BNC=75°，得出∠BCD=75°，再由三角形內(nèi)角和定理求出∠DBC=∠BCD，即可得出結(jié)論．

解答 ①證明：∵∠BAD=∠EAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△ACD和△AEB中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}&{\;}\\{∠DAC=∠BAE}&{\;}\\{AC=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AEB（SAS），
∴CD=BE；
②證明：在PD上截取PM=PA，連接AM，如圖2所示：
同（1）得：△ACD≌△AEB，
∴∠ADC=∠ABE，
∴A、D、B、P四點(diǎn)共圓，
∴∠APD=∠ABD，
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴∠ABD=60°，
∴∠APD=60°，
∴△APM是等邊三角形，
∴AM=PA，∠PAM=60°，
∴∠DAM=∠BAP，
在△ADM和△ABP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAM=∠BAP}&{\;}\\{∠ADM=∠ABP}&{\;}\\{AM=AP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△ABP（AAS），
∴MD=PB，
∴PM+MD=PA+PB，
即PD=PA+PB；
③解：BD=CD，理由如下：
∵∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠ABD=45°=∠BAC，
∴BD∥AC，同理：AB∥CE，
∴∠BCD=∠BNC，
同①得：A、D、B、P四點(diǎn)共圓，
∴∠BDP=∠BAP=30°，
∴∠BNC=30°+45°=75°，
∴∠BCD=75°，
∴∠DBC=180°-75°-30°=75°=∠BCD，
∴BD=CD．

點(diǎn)評(píng) 本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、四點(diǎn)共圓、圓周角定理等知識(shí)；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．