Question

16．命題：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”）．
已知：如圖，△ABC中，∠B=∠C．
求證：AB=AC．
三位同學(xué)作出了三種不同的輔助線，并完成了命題的證明．小剛的方法：作∠BAC的平分線AD，可證△ABD≌△ACD，得AB=AC；小亮的方法：作BC邊上的高AD，可證△ABD≌△ACD，得AB=AC；小莉的方法：作BC邊上的中線AD．
（1）請(qǐng)你寫出小剛與小亮方法中△ABD≌△ACD的理由：AAS；
（2）請(qǐng)你按照小莉的思路完成命題的證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AAS即可判斷；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F．首先證明△BDE≌△CDF（AAS），推出BE=CF，DE=DF，再證明Rt△AED≌Rt△AFD，推出AE=AF即可解決問(wèn)題；

解答 解：（1）△ABD≌△ACD的理由是AAS，
故答案為AAS．

（2）證明：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F．

∵∠BED=∠CFD=90°，∠B=∠C，BD=CD．
∴△BDE≌△CDF（AAS）．
∴BE=CF，DE=DF． 
在Rt△AED和Rt△AFD中，∠AED=∠AFD=90°．
∵AD=AD，DE=DF，
∴Rt△AED≌Rt△AFD．
∴AE=AF．
∴AE+BE=AF+CF．
即AB=AC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．