Question

17．如圖，直線AB分別與兩坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A（4，0）．B（0，8），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0）．
（1）求直線AB的解析式；
（2）在線段AB上有一動點(diǎn)P．
①過點(diǎn)P分別作x，y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，若矩形OEPF的面積為6，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
②連結(jié)CP，是否存在點(diǎn)P，使△ACP與△AOB相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由于A（4，0）、B（0，8），利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式；
（2）①可以設(shè)動點(diǎn)P （x，-2x+8），由此得到PE=x，PF=-2x+8，再利用矩形OEPF的面積為6即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②存在，分兩種情況：第一種由CP∥OB得△ACP∽△AOB，由此即可求出P的坐標(biāo)；第二種CP⊥AB，根據(jù)已知條件可以證明APC∽△AOB，然后利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求出PA，再過點(diǎn)P作PH⊥x軸，垂足為H，由此得到PH∥OB，進(jìn)一步得到△APH∽△ABO，然后利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例就可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，如圖1：

依題意，$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴y=-2x+8；
（2）①設(shè)動點(diǎn)P （x，-2x+8），則PE=x，PF=-2x+8，
∴S_?OEPF=PE•PF=x（-2x+8）=6，
∴x₁=1，x₂=3；
經(jīng)檢驗(yàn)x₁=1，x₂=3都符合題意，
∴點(diǎn)P（1，6）或（3，2）；
②存在，分兩種情況
第一種：CP∥OB，
∴△ACP∽△AOB，
而點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0），
∴點(diǎn)P（2，4 ）；
第二種CP⊥AB，
∵∠APC=∠AOB=90°，∠PAC=∠BAO，
∴△APC∽△AOB，
∴$\frac{AP}{OA}=\frac{AC}{AB}$，
∴$\frac{AP}{4}=\frac{2}{\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}}$，
∴AP=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
如圖2，過點(diǎn)P作PH⊥x軸，垂足為H，

∴PH∥OB，
∴△APH∽△ABO，
∴$\frac{PH}{OB}=\frac{AP}{AB}=\frac{AH}{OA}$，
∴$\frac{PH}{8}=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{4\sqrt{5}}=\frac{AH}{4}$，
∴PH=$\frac{4}{5}$，AH=$\frac{2}{5}$
∴OH=OA-AH=$\frac{18}{5}$，
∴點(diǎn)P（$\frac{18}{5}$，$\frac{4}{5}$）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）或點(diǎn)P（$\frac{18}{5}$，$\frac{4}{5}$）．

點(diǎn)評 本題綜合考查了一次函數(shù)與幾何知識的應(yīng)用，題中運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與判定與直線的關(guān)系以及直角三角形等知識求出線段的長是解題的關(guān)鍵．