Question

3．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E為AD中點，F(xiàn)為CD中點，連接AF、BE、CE，若△EGH的面積為1，則四邊形ABCD的面積為30．

Answer 1

分析 延長AF，BC交于M，取AB的中點N，連接CN交BE于K，由四邊形ABCD是平行四邊形，得到AD∥BC，AD=BC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD=CM，求得AE=$\frac{1}{4}$BM，根據(jù)已知條件得到AD∥BM，推出AEG∽△BMG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AE}{BM}=\frac{EG}{KC}=\frac{AG}{GM}=\frac{1}{4}$，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到BK=KG，求得$\frac{GE}{BK}=\frac{1}{2}$，設(shè)AG=k，于是得到GM=4k，GH=$\frac{2}{3}$k，AF=FM=$\frac{5}{2}$k，HF=$\frac{5}{6}$k，求得AG：GH：HF=6：4：5，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：延長AF，BC交于M，取AB的中點N，連接CN交BE于K，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠M=∠DAF，∠D=∠DCM，
在△ADF與△MCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠FCM}\\{∠DAF=∠M}\\{DF=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△MCF，
∴AD=CM，
∴AE=$\frac{1}{4}$BM，
∵E為AD中點，F(xiàn)為CD中點，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，DF=CF，
∵AD∥BM，
∴△AEG∽△BMG，
∴$\frac{AE}{BM}=\frac{EG}{KC}=\frac{AG}{GM}=\frac{1}{4}$，
∵N是AB的中點，BC=CM，
∴CN∥AM，
∴BK=KG，
∴$\frac{GE}{BK}=\frac{1}{2}$，GM=2KG，AF=FM，
設(shè)AG=k，則GM=4k，GH=$\frac{2}{3}$k，AF=FM=$\frac{5}{2}$k，HF=$\frac{5}{6}$k，
∴AG：GH：HF=6：4：5，
∵S_△EGH=1，
∴S_△AGE=$\frac{3}{2}$，S_△EFH=$\frac{5}{4}$，S_△AEF=$\frac{15}{4}$，
∵AE=DE，
∴S_△ADF=$\frac{15}{2}$，
∴S_{四邊形ABCD}=4S_△ADF=30．
故答案為：30．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，三角形面積的計算，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．