Question

14．某市在黨中央實施“精準(zhǔn)扶貧”政策的號召下，大力開展科技扶貧工作，幫助農(nóng)民組建農(nóng)副產(chǎn)品銷售公司，某農(nóng)副產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過100萬件，該產(chǎn)品的生產(chǎn)費用y（萬元）與年產(chǎn)量x（萬件）之間的函數(shù)圖象是頂點為原點的拋物線的一部分（如圖①所示）；該產(chǎn)品的銷售單價z（元/件）與年銷售量x（萬件）之間的函數(shù)圖象是如圖②所示的一條線段，生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售完，達到產(chǎn)銷平衡，所獲毛利潤為w萬元．（毛利潤=銷售額-生產(chǎn)費用）

（1）請直接寫出y與x以及z與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；并求年產(chǎn)量多少萬件時，所獲毛利潤最大？最大毛利潤是多少？
（3）由于受資金的影響，今年投入生產(chǎn)的費用不會超過360萬元，今年最多可獲得多少萬元的毛利潤？

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法可求出y與x以及z與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)（1）的表達式及毛利潤=銷售額-生產(chǎn)費用，可得出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再利用配方法求函數(shù)最值即可；
（3）首先求出x的取值范圍，再利用二次函數(shù)增減性得出答案即可．

解答 解：（1）圖①可得函數(shù)經(jīng)過點（100，1000），
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²（a≠0），
將點（100，1000）代入得：1000=10000a，
解得：a=$\frac{1}{10}$，
故y與x之間的關(guān)系式為y=$\frac{1}{10}$x²．
圖②可得：函數(shù)經(jīng)過點（0，30）、（100，20），
設(shè)z=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{100k+b=20}\\{b=30}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{10}}\\{b=30}\end{array}\right.$，
故z與x之間的關(guān)系式為z=-$\frac{1}{10}$x+30；

（2）W=zx-y=-$\frac{1}{10}$x²+30x-$\frac{1}{10}$x²
=-$\frac{1}{5}$x²+30x
=-$\frac{1}{5}$（x²-150x）
=-$\frac{1}{5}$（x-75）²+1125，
∵-$\frac{1}{5}$＜0，
∴當(dāng)x=75時，W有最大值1125，
∴年產(chǎn)量為75萬件時毛利潤最大，最大毛利潤為1125萬元；

（3）令y=360，得$\frac{1}{10}$x²=360，
解得：x=±60（負值舍去），
由圖象可知，當(dāng)0＜y≤360時，0＜x≤60，
由W=-$\frac{1}{5}$（x-75）²+1125的性質(zhì)可知，
當(dāng)0＜x≤60時，W隨x的增大而增大，
故當(dāng)x=60時，W有最大值1080，
答：今年最多可獲得毛利潤1080萬元．

點評 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用及一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，注意培養(yǎng)自己利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，難度一般．