Question

2．已知關(guān)于x的方程x²-（2k+1）x+k²+1=0．
（1）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍；
（2）若方程的兩根恰好是一個(gè)矩形的兩邊長(zhǎng)，且k=4，求該矩形的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)關(guān)于x的方程x²-（2k+1）x+k²+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得出△＞0，再解不等式即可；
（2）當(dāng)k=4時(shí)，原方程x²-9x+17=0，設(shè)方程的兩根是x₁、x₂，則矩形兩鄰邊的長(zhǎng)是x₁、x₂，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂=9，再根據(jù)矩形的周長(zhǎng)公式即可得出該矩形的周長(zhǎng)．

解答 解：（1）∵關(guān)于x的方程x²-（2k+1）x+k²+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△＞0，
∴[-（2k+1）]²-4（k²+1）＞0，
解得k＞$\frac{3}{4}$．
則k的取值范圍是k＞$\frac{3}{4}$；

（2）當(dāng)k=4時(shí)，原方程可化為x²-9x+17=0，
設(shè)方程的兩根是x₁、x₂，則矩形兩鄰邊的長(zhǎng)是x₁、x₂，
∵x₁+x₂=9，
∴該矩形的周長(zhǎng)為2（x₁+x₂）=18．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．