Question

5．已知直線l：y=-x+5與雙曲線y=$\frac{k}{x}$的圖象交于A，B兩點，且AB=3$\sqrt{2}$．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）將直線l平移得y=-x+b，當平移后的直線與雙曲線沒有公共點時，直接寫出b的取值范圍．
（3）直線x=t（t＞0）交雙曲線于M，交線段AB于N，求△OMN面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）化簡方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$，得到x²-5x+k=0，于是得到x_A+x_B=5，x_A•x_B=k，根據(jù)AB的長度列方程即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)題意設(shè)M（t，$\frac{11}{2t}$），N（t，-t+5），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

解答 解：（1）解$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$，
∴k=-x²+5x，
∴x²-5x+k=0，
∴x_A+x_B=5，x_A•x_B=k，（x_B-x_A）²=（x_B+x_A）²-4x_Ax_B=25-4k，
AB²=（x_A-x_B）²+（y_A-y_B）²=（x_A-x_B）²+（5-x_A+x_B-5）²=2（x_B-x_A）²=2（25-4k）=（3$\sqrt{2}$）²=18，
∴k=4，
∴y=$\frac{4}{x}$；

（2）由題意得直線l向下平移，-x+b=$\frac{4}{x}$，化簡為：-x²+bx-4=0，
∵平移后的直線與雙曲線沒有公共點，
∴△=b²-4×4＜0，
∴|b|＜4；

（3）∵直線x=t（t＞0）交雙曲線于M，交線段AB于N，
∴MN∥y軸，
設(shè)M（t，$\frac{4}{t}$），N（t，-t+5），
∴S_△OMN=$\frac{1}{2}$×（-t+5-$\frac{4}{t}$）•t=-$\frac{1}{2}$（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{9}{8}$，
∴△OMN面積的最大值是$\frac{8}{9}$．

點評 本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．