Question

20．如圖，在△ABC中，DE分別是AB，AC的中點(diǎn)，BE=2DE，延長DE到點(diǎn)F，使得EF=BE，連CF
（1）求證：四邊形BCFE是菱形；
（2）若CE=6，∠BEF=120°，求菱形BCFE的面積．

Answer 1

分析 （1）從所給的條件可知，DE是△ABC中位線，所以DE∥BC且2DE=BC，所以BC和EF平行且相等，所以四邊形BCFE是平行四邊形，又因?yàn)锽E=FE，所以是菱形；
（2）由∠BEF是120°，可得∠EBC為60°，即可得△BEC是等邊三角形，求得BE=BC=CE=6，再過點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，求的高EG的長，即可求得答案．

解答 （1）證明：∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，
∴DE∥BC且2DE=BC，
又∵BE=2DE，EF=BE，
∴EF=BC，EF∥BC，
∴四邊形BCFE是平行四邊形，
又∵BE=EF，
∴四邊形BCFE是菱形；

（2）解：∵∠BEF=120°，
∴∠EBC=60°，
∴△EBC是等邊三角形，
∴BE=BC=CE=6，
過點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，
∴EG=BE•sin60°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴S_菱形BCFE=BC•EG=6×3$\sqrt{3}$=18$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查菱形的判定和性質(zhì)以及三角形中位線定理，以及菱形的面積的計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)．注意證得△BEC是等邊三角形是關(guān)鍵．