Question

18．如圖，將矩形ABCD沿AH折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處．折痕與邊BC交于點 H，已知AD=8，HC：HB=3：5．

（1）求證：△HCP∽△PDA；
（2）探究AB與HB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）連結(jié)BP，動點M在線段AP上（點M與點P、A不重合），動點N在線段AB的延長線上，且BN=PM，連結(jié)MN交PB于點F，作ME⊥BP于點E．試問當點M、N在移動過程中，線段EF的長度是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；說明理由；若不變，求出線段EF的長度．

Answer 1

分析 （1）先利用等角的余角相等得出∠APD=∠PHC，即可得出結(jié)論；
（2）先求出HC=3，HB=5，進而得出HP=5，再用勾股定理求出PC，最后用△HCP∽△PDA得出的比例式即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出MQ=BN，進而得出QF=FB，再判斷出EF=$\frac{1}{2}$PB，最后用勾股定理求出PB即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由折疊的性質(zhì)可知，
∠APH=∠B=90°，
∴∠APD+∠HPC=90°，
又∠PHC+∠HPC=90°，
∴∠APD=∠PHC，
又∠D=∠C=90°，
∴△HCP∽△PDA；

（2）AB=2BH．
∵HC：HB=3：5，
設(shè)HC=3x，則HB=5x，
在矩形ABCD中，BC=AD=8，
∴HC=3，則HB=5     
由折疊的性質(zhì)可知，HP=HB=5，AP=AB，
在Rt△HCP，根據(jù)勾股定理得，PC=4，
由（1）知，△HCP∽△PDA
∴$\frac{AD}{AP}=\frac{CP}{HP}$，
∴AP=$\frac{8×5}{4}$=10，
∴AB=AP=10=2BH，即AB=2BH．
（3）EF的長度不變．
如圖，作MQ∥AB交PB于Q，
∴∠MQP=∠ABP，
由折疊的性質(zhì)可知，∠APB=∠ABP，
∴∠MQP=∠APB，
∴MP=MQ，又BN=PM，
∴MQ=BN，
∵MQ∥AB，
∴$\frac{QF}{FB}=\frac{MQ}{BN}$，
∴QF=FB，
∵MP=MQ，ME⊥BP，
∴PE=QE，
∴EF=$\frac{1}{2}$PB，
由（2）得，PC=4，BC=8，
∴PB=$\sqrt{P{C}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴EF=2$\sqrt{5}$．

點評 此題是相似形綜合題，主要考查了同角的余角相等，折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解（1）的關(guān)鍵是判斷出∠APD=∠PHC，解（2）的關(guān)鍵是求出AP，解（3）的關(guān)鍵是判斷出MQ=BN，QF=FB，是一道中等難度的中考常考題．