Question

8．如圖，在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，E為AD邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），AF⊥BE，垂足為F，GF⊥CF，交AB于點(diǎn)G，連接EG．設(shè)AE=x，S_△BEG=y．
（1）證明：△AFG∽△BFC；
（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最大值；
（3）若△BFC為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出x的值．

Answer 1

分析 （1）先判斷出∠GAF=∠FBC，再判斷出∠ABF=∠GFC即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出$\frac{AF}{BF}=\frac{EA}{AB}$．再表示出$AG=\frac{EA•BC}{AB}=\frac{4x}{5}$，BG=5-$\frac{4}{5}x$．最后用三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
（3）分三種情況討論利用等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：在矩形ABCD中，∠ABC=90°．
∴∠ABF+∠FBC=90°．
∵AF⊥BE，
∴∠AFB=90°．
∴∠ABF+∠GAF=90°．
∴∠GAF=∠FBC．                
∵FG⊥FC，
∴∠GFC=90°．
∴∠ABF=∠GFC．
∴∠ABF-∠GFB=∠GFC-∠GFB．
即∠AFG=∠CFB．               
∴△AFG∽△BFC；              

（2）解：由（1）得△AFG∽△BFC，
∴$\frac{AG}{BC}=\frac{AF}{BF}$．
在Rt△ABF中，tan∠ADF=$\frac{AF}{BF}$，
在Rt△EAB中，tan∠EBA=$\frac{EA}{AB}$，
∴$\frac{AF}{BF}=\frac{EA}{AB}$．
∴$\frac{AG}{BC}=\frac{EA}{AB}$．
∵BC=AD=4，AB=5，
∴$AG=\frac{EA•BC}{AB}=\frac{4x}{5}$．                                             
∴BG=AB-AG=5-$\frac{4}{5}x$．
∴$y=\frac{1}{2}BG•AE=\frac{1}{2}（{5-\frac{4}{5}x}）x=-\frac{2}{5}{x^2}+\frac{5}{2}x=-\frac{2}{5}{（{x-\frac{25}{8}}）^2}+\frac{125}{32}$．   
∴y的最大值為$\frac{125}{32}$；     
                                             
（3）解：∵△BFC為等腰三角形
∴①當(dāng)FC=FB時(shí)，如圖1，過點(diǎn)F作FH⊥BC于H，
∴BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=2，
過點(diǎn)F作FP⊥AB于P，
∴四邊形BHFP是矩形，
∴FP=BH=2，
在Rt△BPF中，tan∠PBF=$\frac{FP}{PB}=\frac{2}{PB}$，
在Rt△APF中，tan∠AFP=$\frac{AP}{FP}=\frac{AP}{2}$，
∵∠AFP+∠PAF=90°，∠PBF+∠PAF=90°，
∴∠PBF=∠AFP，
∴$\frac{2}{PB}=\frac{AP}{2}$，
∵AP+PB=AB=5，
∴AP=5-PB，
∴$\frac{2}{PB}=\frac{5-PB}{2}$，
∴PB=4或PB=1（舍），
∵PF∥AE，
∴△PBF∽△ABE，
∴$\frac{PB}{AB}=\frac{FP}{AE}$，
∴$\frac{4}{5}=\frac{2}{AE}$，
∴x=AE=$\frac{5}{2}$；
②當(dāng)BF=BC=4時(shí)，
在Rt△ABF中，AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=3，
易得，△AEF∽△BAF，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{BF}$，
∴$\frac{AE}{5}=\frac{3}{4}$，
∴x=AE=$\frac{15}{4}$；
③當(dāng)FC=BC=4時(shí)，如圖2，連接CG，
在Rt△CFG和Rt△CBG中，$\left\{\begin{array}{l}{CG=CG}\\{CF=CB}\end{array}\right.$，
∴Rt△CFG≌Rt△CBG，
∴FG=BG，
∵△ABF是直角三角形，
∴點(diǎn)G是AB的中點(diǎn)，
∴AG=BG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
由（2）知，AG=$\frac{4}{5}$x，
∴$\frac{4}{5}$x=$\frac{5}{2}$，
∴x=$\frac{25}{8}$；
即：x的值為$\frac{5}{2}$，$\frac{25}{8}$或$\frac{15}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判斷和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，矩形的判定全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解（1）的關(guān)鍵是得出∠ABF=∠GFC，解（2）的關(guān)鍵是得出AG和BG，解（3）的關(guān)鍵是分類討論的思想解決問題，是一道中等難度的中考�？碱}．