Question

10．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，點P是直線AD上一點，若滿足△PBC是等腰三角形的點P有且只有3個，則AD的長為3或2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 要求直線AD上滿足△PBC是等腰三角形的點P有且只有3個時的AB長，則需要分類討論：①當(dāng)AB=AD時；②當(dāng)AB＜AD時，③當(dāng)AB＞AD時．

解答 解：①如圖，當(dāng)AB=AD時

滿足△PBC是等腰三角形的點P有且只有3個，
△P₁BC，△P₂BC是等腰直角三角形，△P₃BC是等腰直角三角形（P₃B=P₃C），
則AB=AD=3．

②當(dāng)AB＜AD，且滿足△PBC是等腰三角形的點P有且只有3個時，如圖，

易知P₂是AD的中點，BC=BP₁=BP₂=CP₂=CP₃，
此時易知△P₂BC是等邊三角形，
在Rt△ABP₂中，∵AB=3，∠ABP₂=30°，
∴AP₂=AB•tan30°=$\sqrt{3}$，
∴BC=AD=2AP₂=2$\sqrt{3}$
③當(dāng)AB＞AD時，直線AD上只有一個點P滿足△PBC是等腰三角形．
故答案為：3或2 $\sqrt{3}$．

點評 本題考查矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，屬于中考常考題型．