Question

18．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，點(diǎn)D是BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將△ACD沿AD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，連接DE交AB于點(diǎn)F，當(dāng)△DEB是直角三角形時(shí)，DF的長為$\frac{3}{2}$或$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 點(diǎn)E與點(diǎn)C′重合時(shí)．在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC=4，由翻折的性質(zhì)可知：AE=AC=3，DC=DE．則EB=2．設(shè)DC=ED=x，則BD=4-x．在Rt△DBE中，依據(jù)勾股定理列方程求解即可；當(dāng)∠EDB=90時(shí)．由翻折的性質(zhì)可知：AC=AE，∠C=∠AED=90°，然后證明四邊形ACDE為正方形，從而求得DB=1，然后證明DF∥AC，△BDF∽△BCA，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得DF=$\frac{3}{4}$．

解答 解：如圖1所示；點(diǎn)E與點(diǎn)F重合時(shí)．
在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4．
由翻折的性質(zhì)可知；AE=AC=3、DC=DE．則EB=2．
設(shè)DC=ED=x，則BD=4-x．
在Rt△DBE中，DE²+BE²=DB²，即x²+2²=（4-x）²．
解得：x=$\frac{3}{2}$．
∴DE=$\frac{3}{2}$．
如圖2所示：∠EDB=90時(shí)．
由翻折的性質(zhì)可知：AC=AE，∠C=∠AED=90°．
∵∠C=∠AED=∠CDE=90°，
∴四邊形ACDE為矩形．
又∵AC=AE，
∴四邊形ACE′為正方形．
∴CD=AC=3．
∴DB=BC-DC=4-3=1．
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△BCA．
∴$\frac{DF}{AC}=\frac{DB}{CB}$=$\frac{1}{4}$，即$\frac{DF}{3}=\frac{1}{4}$．
解得：DF=$\frac{3}{4}$．
點(diǎn)D在CB上運(yùn)動(dòng)，∠DBC′＜90°，故∠DBC′不可能為直角．
故答案為：$\frac{3}{2}$或$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、勾股定理、正方形的判定、相似三角形的性質(zhì)和判定，根據(jù)題意畫出符合題意的圖形是解題的關(guān)鍵．