Question

18．函數(shù)學(xué)習(xí)中，自變量取值范圍及相應(yīng)的函數(shù)值范圍問(wèn)題是大家關(guān)注的重點(diǎn)之一，請(qǐng)解決下面的問(wèn)題．
（1）分別求出當(dāng)2≤x≤4時(shí)，兩個(gè)函數(shù)：y=2x+1，y=2（x-1）²+1的最大值和最小值；
（2）若y=$\frac{2}{x}$的值不大于2，求符合條件的x的范圍；
（3）y=2（x-m）²+m-2，當(dāng)2≤x≤4時(shí)有最小值為1，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)k=2＞0結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出：當(dāng)2≤x≤4時(shí)，y=2x+1的最大值和最小值；根據(jù)二次函數(shù)的解析式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出：當(dāng)2≤x≤4時(shí)，y=2（x-1）²+1的最大值和最小值；
（2）令y=$\frac{2}{x}$≤2，解之即可得出x的取值范圍；
（3）分m＜2、2≤m≤4和m＞4三種情況考慮，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合當(dāng)2≤x≤4時(shí)有最小值為1即可得出關(guān)于m的一元二次方程（一元一次方程），解之即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵在一次函數(shù)y=2x+1中k=2＞0，
∴y隨x的增大而增大．
∴當(dāng)x=2時(shí)，y_最小=5；當(dāng)x=4時(shí)，y_最大=9．
∵在二次函數(shù)y=2（x-1）²+1中a=2＞0，且對(duì)稱軸為x=1，
∴當(dāng)x=2時(shí)，y_最小=3；當(dāng)x=4時(shí)，y_最大=19．
（2）令y=$\frac{2}{x}$≤2，
解得：x＜0或x≥1．
∴符合條件的x的范圍為x＜0或x≥1．
（3）當(dāng)m＜2時(shí)，有2（2-m）²+m-2=1，
解得：m₁=1，m₂=$\frac{5}{2}$（舍去）；
當(dāng)2≤m≤4時(shí)，有m-2=1，
解得：m₃=3；
當(dāng)m＞4時(shí)，有2（4-m）²+m-2=1，
整理得：2m²-15m+29=0．
∵△=（-15）²-4×2×29=-7，
∴m的值為1或3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)一次（二次）函數(shù)的性質(zhì)解決最值問(wèn)題；（2）找出關(guān)于x的不等式；（3）分m＜2、2≤m≤4和m＞4三種情況考慮．