Question

17．如圖，正方形ABCD的邊長AD為⊙O的直徑，E是AB上一點，將正方形的一個角沿EC折疊，使得點B恰好與圓上的點F重合，則tan∠AEF=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 連接OF，OC．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠OFC=∠ODC=90°，于是得到FC是⊙O的切線；根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD=BC=AB=CD，由∠CFE=∠B=90°，得到E，F(xiàn)，O三點共線．根據(jù)勾股定理得到BE的長，即可得到結(jié)論．

解答 解：如圖，連接OF，OC．
在△OCF和△OCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OF=OD}\\{OC=OC}\\{CF=CD}\end{array}\right.$，
∴△OCF≌△OCD（SSS），
∴∠OFC=∠ODC=90°，
∴CF是⊙O的切線，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴可設(shè)AD=BC=AB=CD=2，
∵∠CFE=∠B=90°，
∴E，F(xiàn)，O三點共線．
∵EF=EB，
∴在△AEO中，AO=1，AE=2-BE，EO=1+BE，
∴（1+BE）²=1+（2-BE）²，
∴BE=$\frac{2}{3}$，
∴AE=$\frac{4}{3}$，
∴tan∠AEF=$\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查的是折疊問題，正方形的性質(zhì)，切線的判定以及解直角三角形的運用，解決問題的關(guān)鍵是：根據(jù)三角形全等判定CF是圓的切線，然后由翻折變換，得到對應(yīng)的角與對應(yīng)的邊分別相等，利用切線的性質(zhì)結(jié)合直角三角形，運用勾股定理求出線段的長．