Question

16．一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=12cm，高AD=8cm，把它加工成矩形零件如圖，要使矩形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上．且矩形的長(zhǎng)與寬的比為3：2，求這個(gè)矩形零件的邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析 根據(jù)矩形性質(zhì)得PQ∥BC，PQ=MN，則可證明△APQ∽△ABC，根據(jù)相似的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊成比例$\frac{PQ}{BC}=\frac{AH}{AD}$，分兩種情況：①若PQ為長(zhǎng)，PN為寬，設(shè)PQ=3k，PQ=2k；②PN為6，PQ為寬，設(shè)PN=3k，PQ=2k；分別由比例式得出方程，解方程即可．

解答 解：如圖所示
∵四邊形PQMN是矩形，
∴BC∥PQ，
∴△APQ∽△ABC，
∴$\frac{PQ}{BC}=\frac{AH}{AD}$，
由于矩形長(zhǎng)與寬的比為3：2，
∴分兩種情況：
①若PQ為長(zhǎng)，PN為寬，
設(shè)PQ=3k，PN=2k，
則$\frac{3k}{12}=\frac{8-2k}{8}$，
解得：k=2，
∴PQ=6cm，PN=4cm；
②PN為6，PQ為寬，
設(shè)PN=3k，PQ=2k，
則$\frac{2k}{12}=\frac{8-3k}{8}$，
解得：k=$\frac{24}{13}$，
∴PN=$\frac{72}{13}$cm，PQ=$\frac{48}{13}$cm；
綜上所述：矩形的長(zhǎng)為6cm，寬為4cm；或長(zhǎng)為$\frac{72}{13}$cm，寬為$\frac{48}{13}$cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的應(yīng)用：在實(shí)際問(wèn)題中抽象出幾何圖形，通過(guò)證明三角形相似，利用相似比表示線段之間的關(guān)系和計(jì)算線段的長(zhǎng)．