Question

4．如圖，△ABC，∠ACB=90°，點D，E分別在AB，BC上，AC=AD，∠CDE=45°，CD與
AE交于點F，若∠AEC=∠DEB，CE=$\frac{7\sqrt{10}}{4}$，則CF=5．

Answer 1

分析 作輔助線，構(gòu)建特殊的四邊形ACGH，設(shè)∠AEC=α，則∠DEB=α，
①根據(jù)SAS證明△AEC≌△DEB，得AC=CH，∠ACE=∠EGH=90°，證明四邊形ACGH是矩形；
②設(shè)∠ACD=∠ADC=β，根據(jù)三角形的內(nèi)角和表示∠CAD=180°-2β，根據(jù)平角∠ADB=180°列式：β+45°+∠BDE=180°，在△BDE中根據(jù)三角形的內(nèi)角和列式為：α+∠BDE+∠ABC=180°，兩式綜合可得：∠BDE=α；
③證明四邊形ACGH是正方形，得出AD=AC=4BE=4BD；
④設(shè)BE=x，則BD=x，在Rt△ACB中，由勾股定理列方程可求出x的值；
⑤過F作FM⊥BC于M，設(shè)EM=y，則FM=2y，EF=$\sqrt{5}$y，根據(jù)EF的長列方程可求出y的值；
⑥在Rt△CFM中，利用勾股定理可求CF的長．

解答 解：延長CE至G，使EC=EG，延長ED至H，使EH=AE，過D作DT∥BC，交AE于T，連接GH、AH，
設(shè)∠AEC=α，則∠DEB=α，
∵∠AEC=∠DEB=α，
∴△AEC≌△DEB，
∴AC=GH，∠ACE=∠EGH=90°，
∴AC∥GH，
∴四邊形ACGH是矩形，
∴AH∥CG，
∴∠AHE=∠HEG=α，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
設(shè)∠ACD=∠ADC=β，
∵∠CDE=45°，
∴β+45°+∠BDE=180°，
∴β=135°-∠BDE①，
∵△ACD是等腰三角形，
∴∠CAD=180°-2β，
∵△ACB是直角三角形，
∴∠ABC=90°-∠CAD=90°-（180°-2β）=2β-90°，
在△BDE中，由內(nèi)角和得：α+∠BDE+∠ABC=180°，
α+∠BDE+2β-90°=180°②，
把①代入②得：α+∠BDE+2（135°-∠BDE）-90°=180°，
∠BDE=α，
∴∠ADH=∠BDE=α，
∴AD=AH=AC，
∴四邊形ACGH是正方形，
∴AH=AC=2CE=$\frac{7\sqrt{10}}{2}$，
∴AD=AC=$\frac{7\sqrt{10}}{2}$，
∵∠BED=∠BDE=α，
∴BE=BD，
設(shè)BE=x，則BD=x，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC²+BC²=AB²，
∴$（\frac{7\sqrt{10}}{2}）^{2}+（\frac{7\sqrt{10}}{4}+x）^{2}=（\frac{7\sqrt{10}}{2}+x）^{2}$，
解得：x=$\frac{7\sqrt{10}}{8}$，
∴BE=BD=$\frac{7\sqrt{10}}{8}$，
∴CE=2BE=2BD，
∴AD=4BD，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∵DT∥BC，
∴△ADT∽△ABE，
∴$\frac{DT}{EB}=\frac{AD}{AB}=\frac{AT}{AE}$=$\frac{4}{5}$，
∵CE=2BE，
∴$\frac{DT}{CE}$=$\frac{2}{5}$，
∵DT∥CE，
∴$\frac{TF}{EF}$=$\frac{DT}{CE}$=$\frac{2}{5}$，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE=$\sqrt{A{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{7\sqrt{10}}{2}）^{2}+（\frac{7\sqrt{10}}{4}）^{2}}$=$\frac{35\sqrt{2}}{4}$，
∴ET=$\frac{1}{5}$AE=$\frac{1}{5}$×$\frac{35\sqrt{2}}{4}$=$\frac{7\sqrt{2}}{4}$，
∴EF=$\frac{5}{7}$ET=$\frac{5}{7}$×$\frac{7\sqrt{2}}{4}$=$\frac{5}{4}\sqrt{2}$，
過F作FM⊥BC于M，
tanα=$\frac{AC}{CE}=\frac{FM}{EM}$=$\frac{\frac{7\sqrt{10}}{2}}{\frac{7\sqrt{10}}{4}}$=$\frac{2}{1}$，
設(shè)EM=y，則FM=2y，EF=$\sqrt{5}$y，
∴$\sqrt{5}$y=$\frac{5}{4}\sqrt{2}$，
y=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴FM=2y=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，EM=y=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴CM=CE-EM=$\frac{7\sqrt{10}}{4}$-$\frac{\sqrt{10}}{4}$=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
在Rt△CFM中，由勾股定理得：CF=$\sqrt{C{M}^{2}+F{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3\sqrt{10}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{10}}{2}）^{2}}$=5；
故答案為：5．

點評 本題是三角形和四邊形的綜合題，考查了矩形、正方形的性質(zhì)和判定，平行相似及平行線分線段成比例定理，三角函數(shù)，勾股定理等知識，比較麻煩，計算量較大；注意線段的比的關(guān)系，利用線段的比和未知數(shù)，根據(jù)勾股定理計算邊的長，從而使問題得以解決．