Question

10．如圖，正方形ABCD中對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)P，PM⊥PN分別交AB，BC于M、N．
（1）求證：PM=PN；
（2）連接MN交BD于點(diǎn)Q，如果PQ=3，BQ=2，求PN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作PE⊥BC于E，PF⊥AB于F．只要證明△PEN≌△PFM即可解決問題；
（2）由△PNQ∽△PBN，推出$\frac{PN}{PB}$=$\frac{PQ}{PN}$，可得PN²=PQ•PB=15，由此即可解決問題；

解答 （1）證明：如圖1中，作PE⊥BC于E，PF⊥AB于F．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠PBC=∠PBA=45°，∠ABC=90°，
∵PE⊥BC，PF⊥AB，
∴PE=PF，
∵∠FBE=∠PFB=∠PEB=90°，
∴四邊形PEBF是矩形，
∴∠EPF=∠MPN=90°，
∴∠MPF=∠NPE，∵∠PEN=∠PFM=90°，
∴△PEN≌△PFM，
∴PM=PN．

（2）解：如圖2中，

由（1）可知△PMN是等腰直角三角形，
∴∠PNQ=∠PBN，∵∠NPQ=∠BPN，
∴△PNQ∽△PBN，
∴$\frac{PN}{PB}$=$\frac{PQ}{PN}$，
∴PN²=PQ•PB=15，
∴PN=$\sqrt{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．