Question

20．問題背景：如圖（1）在四邊形ABCD中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究線段AC、BC、CD之間的數(shù)量關(guān)系．小吳探究此問題的思路是：將△BCD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處，點B、C分別落在點A、E處（如圖（2）），易證點C、A、E在同一條直線上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE=$\sqrt{2}$CD，從而得出結(jié)論：AC+BC=$\sqrt{2}$CD．
簡單應(yīng)用：
（1）在圖（1）中，若AC=$\sqrt{2}$，BC=2$\sqrt{2}$，則CD=3；
（2）如圖（3）AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，AD=BD，若AB=13，BC=12，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）代入結(jié)論：AC+BC=$\sqrt{2}$CD，直接計算即可；
（2）如圖3，作輔助線，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得：∠ADB=∠ACB=90°，由弧相等可知所對的弦相等，得到滿足圖1的條件，所以AC+BC=$\sqrt{2}$CD，代入可得CD的長；

解答 解：（1）由題意知：AC+BC=$\sqrt{2}$CD，
∴$\sqrt{2}$+2 $\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$CD，
∴CD=3；
故答案為：3；

（2）如圖3，連接AC、BD、AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴AD=BD，
∵AB=13，BC=12，
∴由勾股定理得：AC=5，
由圖1得：AC+BC=$\sqrt{2}$CD，
5+12=$\sqrt{2}$CD，
∴CD=$\frac{17}{2}$$\sqrt{2}$；

點評 本題是圓和四邊形的綜合題，考查了圓周角定理、弦和弧的關(guān)系、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會應(yīng)用結(jié)論解決問題，屬于中考�？碱}型．